Die Probe
Zwei Spuren, je 120 Töne, je etwa fünfzehn Sekunden. In einer steckt eine Regel, in der anderen nicht. Beide werden gleich instrumentiert: gleiche Skala, gleiches Tempo, gleiche Tonverteilung. Ein Experte für Zufall hätte es nicht leichter als Sie.
Welche Spur folgt der Gleichung xn+1 = 4·xn·(1−xn) — und welche kommt aus crypto.getRandomValues()? Hören Sie beide. Raten ist erlaubt; Zählen nicht.
Spur A
120 Töne · 8 pro Sekunde · drei Oktaven
Spur B
120 Töne · 8 pro Sekunde · drei Oktaven
Welche Spur folgt einer Regel?
Das Instrument
Eine Reihe von 512 Zahlen, x0 … x511, je zwischen 0 und 1. Die Zeitreihe unten zeigt sie. Die Tonhöhe ist eine Abbildung derselben Werte: f = 110 Hz · 23x, logarithmisch über drei Oktaven. Es gibt keine versteckte Skala und keinen Puffer: Jeder Ton wird beim Abspielen aus dem Wert gerechnet, den ein Klick in die Zeitreihe trifft.
Die Regel-Seite ist die logistische Abbildung xn+1 = r·xn·(1−xn). Bei r = 4 ist sie vollständig verstanden; zieht man r herunter, wird aus dem Rauschen eine Ordnung (§ 4). Die Zufalls-Seite stammt aus dem kryptographischen Generator des Browsers und wird auf dieselbe Dichte umgeformt, die die Regel bei r = 4 hat — damit die Probe fair ist.
Die Messung
Die naheliegende Prüfung ist die Autokorrelation: Wie ähnlich ist der Wert an Stelle n dem Wert k Schritte später? Für eine periodische Folge schlägt sie bei k = Periode aus. Beim Zufall liegen einzelne der 48 geprüften Abstände knapp außerhalb des Rauschernsters — bei so vielen Prüfungen zu erwarten. Für die Regel bei r = 4 gilt dasselbe, und zwar nicht ungefähr, sondern für jedes k ≥ 1. Das ist kein Messfehler, sondern ein Satz über die Abbildung: sie ist mischend, ihre invarianten Dichte ist die Arcussinus-Verteilung. Mehr Daten helfen diesem Test nicht. Er ist blind für diese Regel.
REGEL · r = 4,0000
ZUFALL · Arcussinus, gleichverteilt gezogen
Der zweite Blick fragt nicht nach Ähnlichkeit über Abstände, sondern nach dem unmittelbaren Nachfolger: nicht wie oft, sondern was folgt worauf. Im Rückkehrdiagramm aus § 2 liegen die 120 gehörten Werte der Regel auf einer Parabel, die des Zufalls füllen die Fläche. Man braucht dafür keine 65536 Werte, keine Statistik und kein Nachdenken — nur eine andere Frage.
Das ist der Satz, den diese Seite vorführt: Zufälligkeit ist keine Eigenschaft einer Folge, sondern des Tests. Dieselben Zahlen sind für die Autokorrelation ununterscheidbar und für das Rückkehrdiagramm sofort entschieden. Wer die falsche Frage stellt, findet keine Regel — auch bei unbegrenzten Daten.
Die Karte
Jetzt der Regler. Die Karte unten ist beim Laden dieser Seite neu gerechnet worden: für jede Bildspalte ein eigener Startwert, 300 Schritte Einschwingen verworfen, die nächsten 400 Werte als Punkt gestapelt. Sie ist kein Archivbild; sie entsteht aus derselben Gleichung wie der Klang.
Fährt man mit dem Zeiger über die Karte, liest die Seite den Wert r unter dem Zeiger ab, sucht im tatsächlichen Orbit die Periode und kann ihn abspielen. Bei r = 3 schlägt die ruhige Folge in zwei Werte um, bei 3,5 in vier, bei 3,83 in drei — und dazwischen liegt ein Meer, in dem keine Periode bis 64 mehr gefunden wird.
Die Tabelle nennt die Stellen, an denen sich die Karte in Stufen ordnet. Drei davon sind exakt — die Formel steht daneben, und mit dem Zeiger lässt sich prüfen, ob die Periode dort wirklich anfängt. Die übrigen sind Zahlen aus der Literatur (Feigenbaum 1978) und in der Seite nicht bewiesen, nur benutzt.
| r | Periode | Bemerkung |
|---|---|---|
| 3 | 2 | exakt: wo der stabile Fixpunkt instabil wird |
| 1 + √6 = 3,449489743… | 4 | exakt |
| 3,544090359… | 8 | numerisch (Feigenbaum) |
| 3,564407266… | 16 | numerisch |
| 3,569945672… | – | Häufungspunkt der Verdopplungen, numerisch |
| δ = 4,669201609… | – | Feigenbaum-Konstante: Abstand der Stufen, numerisch |
| 1 + 2√2 = 3,828427125… | 3 | exakt: Beginn des Fensters der Periode 3 |
Im Fenster selbst geht das Verdoppeln weiter: die Periode 3 wird bei etwa 3,8415 zu 6, bei 3,8476 zu 12, bei 3,8490 zu 24 — und endet um 3,857. Auch das lässt sich mit dem Zeiger finden: die Seite meldet die Periode, die sie in der gerechneten Bahn tatsächlich findet. Dicht am Rand eines Fensters setzt sich die Bahn nur langsam; dort kann die Meldung zwischen 0, der alten und der neuen Periode schwanken. Verlässlich ist sie im Inneren eines Fensters — und die exakten Formeln der Tabelle gelten unabhängig davon.
Die Trennung
Zwei Bahnen starten dicht beieinander, Abstand ε. Bei r = 4 lässt sich ihr Schicksal im Kopf rechnen: Mit x = sin²(πθ) und θn+1 = 2θn mod 1 verdoppelt sich der Abstand mit jedem Schritt. Nach k Schritten sind zwei Starts im Abstand 2−k wieder bitgleich — für immer. Es gibt keine bleibende Divergenz, es gibt eine Runde.
Wählen Sie k, starten Sie die zwei Stimmen (links und rechts im Ohr) und sehen Sie dem Abstand zu: er wächst als Treppe, bis er eine halbe Runde erreicht — weiter geht es auf einem Kreis nicht —, und fällt dann auf null. Die Anzeigen darunter rechnen beides vor und messen es an den Bahnen nach, die gerade klingen.
Und dann endet die Rechnung. Jede double-Zahl ist ein dyadischer Bruch; θ₀ liegt auf dem Raster 2−55. Nach höchstens 55 Verdopplungen ist daraus eine ganze Zahl geworden — θ fällt auf 0, den Fixpunkt der Abbildung, und bleibt dort. (Wie früh, hängt an den letzten Stellen der Zahl: die linke Bahn dieser Seite stirbt bei Schritt 53, die rechte bei 55.) Das ist kein Befund über die logistische Abbildung, sondern über das Rechnen mit 64 Bit: die Anzeige „θ (links / rechts)“ steht dann auf 0,000000. Wählen Sie ε = 10−6, um diese Grenze zu sehen — und ε = 2−k, um davor die exakte Runde zu sehen.
Das Protokoll
Die Gleichung
Die logistische Abbildung stammt aus der Populationsbiologie: x ist der Anteil einer Bevölkerung an der Kapazitätsgrenze, r die Wachstumsrate. Robert May hat 1976 in Nature gezeigt, was in dieser einen Zeile steckt — stabile Punkte, eine Kaskade immer längerer Zyklen und dazwischen Folgen, die von Rauschen nicht zu unterscheiden sind. Bei r = 4 ist die Abbildung vollständig lösbar: Mit xn = sin²(πθn) wird aus ihr θn+1 = 2θn mod 1, die reine Verdopplung auf dem Kreis. Aus dieser Form folgt der Rest der Seite: die invariante Dichte 1/(π√(x(1−x))), der Lyapunov-Exponent ln 2 ≈ 0,6931 und die exakte Trennung aus § 5.
Was Zufall heißt
Die Autokorrelation bei r = 4 ist für alle k ≥ 1 exakt null. Das ist keine Näherung, sondern folgt aus der Mischungseigenschaft der Verdopplung. Ein Test, der auf Korrelationen über feste Abstände schaut, kann diese Regel also mit noch so vielen Daten nicht entdecken. Das Rückkehrdiagramm entdeckt sie mit 120 Werten, weil es eine andere Frage stellt: Es prüft nicht Ähnlichkeit, sondern Nachfolge. Zufällig ist eine Folge nie „an sich“; zufällig ist sie immer nur im Hinblick auf eine Prüfung, die man an sie anlegt.
Fairerweise: Auch das Rückkehrdiagramm ist nur ein Test. Es funktioniert hier, weil die Regel unmittelbar von einem Wert zum nächsten führt. Eine Regel mit Gedächtnis von drei Schritten würde es übersehen — ein Diagramm über drei Schritte oder ein Phasenraum höherer Ordnung fände sie wieder.
Ordnung kehrt zurück
Zwischen r = 3,5699 und r = 4 ist die Karte dicht gefüllt — aber nicht ganz. In schmalen Fenstern rastet die Folge wieder in kurze Zyklen ein. Das größte beginnt exakt bei r = 1 + 2√2 mit der Periode 3; dort berührt die dritte Iterierte die Diagonale tangential, ein stabiler und ein instabiler Zyklus entstehen gleichzeitig. Im Fenster verdoppelt sich die Periode erneut — 3, 6, 12, 24 … — bis auch sie im Chaos endet. Die Abstände der großen Verdopplungskaskade schrumpfen in einem festen Verhältnis, der Feigenbaum-Konstante δ = 4,6692…, und der Häufungspunkt liegt bei r ≈ 3,569945672.
Grenzen dieses Apparats
- Der Ohr-Test ist kurz. 120 Töne sind wenige. Dass eine längere Probe das Ohr nicht retten würde, ist eine begründete Annahme — die Seite misst sie nicht. Sie misst die verwandte Tatsache, dass 65536 Werte die Autokorrelation ebenso wenig retten.
- Die Zufallsspur ist geformt. Sie kommt aus crypto.getRandomValues, wurde aber auf die Arcussinus-Dichte umgeformt, damit die Verteilung kein Verräter ist. Echter wäre die Gleichverteilung — und genau deshalb wäre die Probe dann nicht mehr fair.
- Gleitkomma ist nicht die Mathematik. Die Reihen in § 2 und § 3 sind gewöhnliche double-Schleifen: nach rund 50 Schritten ist das nicht mehr die wahre Bahn von x = 0,4, sondern ein Schatten mit denselben statistischen Eigenschaften. Auch die exakte θ-Form hilft nicht lange: in double ist jede Zahl dyadisch, und nach höchstens 55 Verdopplungen fällt jede θ-Bahn auf 0 — § 5 führt das vor, statt es zu verschweigen. Bitgenau und geprüft sind deshalb nur die Aussagen, die vor dieser Grenze liegen: die Verdopplungsschritte bis k = 48.
- Der Beweis rechnet, er zitiert nicht. Dass die Periode bei r = 3 anfängt, ist exakt und in der Seite nachprüfbar; die Zahlen zu r = 3,54409 und zur Feigenbaum-Konstante sind Literaturwerte und werden nur benutzt. Wo „exakt“ steht, steht es, weil die Formel daneben steht.
Quellen
- Robert M. May: Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature 261, 459–467 (1976). doi:10.1038/261459a0
- Mitchell J. Feigenbaum: Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics 19, 25–52 (1978).
- Tien-Yien Li, James A. Yorke: Period Three Implies Chaos. American Mathematical Monthly 82, 985–992 (1975).
- Edward N. Lorenz: Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences 20, 130–141 (1963).
- Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. 2. Auflage, Westview Press (2015) — Konjugation, Mischung, invariante Dichte.