Elf Gravuren, gestochen nach der Art alter Kartografen. Jede Platte öffnet einen Ausblick auf die Menge der beschränkten Orbits — Fluchtzeit, Julia, Perioden, Kardioide, Buddhabrot, externe Strahlen, Vermessung — und führt am Ende zu einer Konstanten, die niemand in eine Iteration graviert hätte.
Starte bei z = 0, quadriere, addiere c, wiederhole. Das ist alles. Für manche c bleibt der Punkt für immer gefangen — er pendelt, kreist, verfängt sich in einem Zyklus. Für andere entkommt er unaufhaltsam in Richtung Unendlich. Die Menge der gefangenen c ist die Mandelbrot-Menge.
z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + cKlicke in die Karte rechts: Der Orbit des gewählten c wird Schritt für Schritt graviert — goldene Segmente, solange der Punkt wandert; ein karmesinroter Punkt, wenn er entkommt; ein türkiser Ring, wenn er in einen Zyklus fällt.
Der Fluchtradius ist 2: Sobald |z| > 2, ist die Flucht bewiesen und unumkehrbar.Zähle, nach wie vielen Iterationen |z| die 2 überschreitet — die Fluchtzeit. Punkte, die nie entkommen, bleiben tintenschwarz. Der Rand, an dem die Fluchtzeiten gegen unendlich steigen, ist die eigentliche Menge: dort wohnt die gesamte Komplexität.
ν = n + 1 − log₂(ln|zₙ|)Die geglättete Fluchtzeit ν verwischt die Bänder zu einem kontinuierlichen Höhenfeld. Der Regler maxIter legt die Messtiefe fest — je tiefer, desto schärfer die Küstenlinie; der zweite Regler wickelt die Farbpalette enger oder weiter.
Klick zoomt an die angeklickte Stelle. Reset stellt die Gesamtansicht wieder her.Die Menge ist nicht exakt selbstähnlich — sie ist quasi-selbstähnlich: In jeder Tiefe tauchen verzerrte Miniaturen der Gesamtfigur auf, jede leicht verbogen, jede in ein neues Ornament gefasst. Seepferdchen winden sich im Tal bei −0.745 + 0.113i, Elefanten marschieren am reellen Saum.
c ∈ M ⇔ supₙ |zₙ| < ∞Wähle unten eine Station — oder klicke selbst in die Karte: Jeder Klick vervierfacht die Vergrösserung an der getroffenen Stelle. Die Messtiefe wächst automatisch mit dem Zoom.
Seepferdchen-Tal, Elefanten-Tal, die dreifache Spirale und die Feigenbaum-Spitze sind klassische Ankerpunkte der Fraktal-Kartografie.Dieselbe Iteration, die Rollen vertauscht: c wird eingefroren, z₀ durchläuft die Ebene. Heraus kommt die Julia-Menge J(c). Liegt c innerhalb von M, hängt J(c) zusammen — ein Festland. Liegt c ausserhalb, zerfällt sie zu Staub, Cantor-Staub aus unendlich vielen Inseln.
J(c) = ⇾{ z₀ : zₙ₊₁ = zₙ² + c bleibt beschränkt }Klicke links in die Mandelbrot-Karte: Rechts erscheint die zugehörige Julia-Menge. Beobachte, wie Festland in Staub zerfällt, sobald das Fadenkreuz die Küste verlässt — die Mandelbrot-Menge ist das Inhaltsverzeichnis aller Julia-Mengen.
Voreinstellung: c = −0.7269 + 0.1889i, eines der schönsten zusammenhängenden Exemplare.Für c im Innern konvergiert der Orbit gegen einen anziehenden Zyklus. Im Herzen — der Kardioide — ist die Periode 1, im grossen linken Knospen-Kreis 2, in den oberen und unteren Knospen 3. Färbe jedes c nach seiner Periode, und die Menge wird zur Landkarte ihrer inneren Uhrwerke.
|f₊(z*) − z*| < ε ⇒ Periode pKlicke in eine gefärbte Region: Der Zyklus wird numerisch vermessen und die ersten Glieder der Kreisbahn rechts angezeigt.
Die Knospenfolge entlang der Kardioide liest die internen Winkel p/q — jede rationale Zahl besitzt genau eine Knospe.Der Orbit hat genau dann einen anziehenden Fixpunkt, wenn der Multiplikator λ = 2z* im Innern des Einheitskreises liegt. Eliminiert man z*, bleibt eine Epizykloide: die Hauptkardioide. Der grosse Kreis bei −1 ist der Perioden-2-Knospen, exakt mit Radius ¼.
c(θ) = eⁱθ/2 − e₂ⁱθ/4, λ = eⁱθBewege θ — der Messpunkt wandert am Rand entlang. An rationalen Bruchteilen einer Umdrehung, θ = 2πp/q, sitzt die Knospe der Periode q. Die Tasten springen zu den prominenten Winkeln.
Der Multiplikator λ liegt stets auf dem Einheitskreis — der Rand ist der Grenzfall zwischen Anziehung und Abstossung.Drehe die Messung um: Zähle für jeden Ort der Ebene, wie viele fliehende Orbits ihn durchqueren. Die Dichte dieser Spuren, logarithmisch abgebildet, zeigt eine meditierende Figur — ein Gespenst aus reiner Statistik, das in keiner einzelnen Iteration steht.
ρ(z) = #{ c : der Orbit von c streift z }Der Prozess sammelt fortlaufend Zufallsproben. Start beginnt die Akkumulation, Pause hält sie an, Reset löscht das Bild. Mit steigendem maxIter wird die Gestalt feiner — und langsamer.
Auf die Seite gelegt: Die klassische Aufrechterhaltung des Buddhas erhält man durch eine Vierteldrehung der Ebene.Die Iteration z → zᵈ + c erzeugt für jedes d ≥ 2 eine eigene Menge. Die Kardioide wird zur Epizykloide mit d−1 Blättern, die gesamte Figur gewinnt eine (d−1)-zählige Drehsymmetrie. Der Quadratfall ist nur das zweitälteste Kind einer unendlichen Familie.
zₙ₊₁ = zₙᵈ + c, d ∈ {2, 3, …, 8}Der Regler schreitet durch die Exponenten. Beobachte, wie aus dem Apfelmännchen bei d = 3 eine dreizackige Blüte wird, bei d = 4 ein Vieleck aus vier Knospen — und wie die Feinstruktur am Rand mitwächst.
Für d = 2 bleibt alles beim Alten: dieselbe Karte wie in Platte II.Betrachte zum Fluchtpunkt z nicht nur, wann, sondern wohin er entkommt: Das Vorzeichen seines Imaginärteils im Moment des Überschreitens spaltet die Aussenwelt in zwei Felder. Zwischen ihnen ziehen sich scharfe Linien — die externen Strahlen, die an ganz bestimmten Punkten der Küste landen.
θ(c) = arg(zₒℓ∗)/2π (externer Winkel)Nach Douady und Hubbard landet jeder Strahl mit rationalem Winkel: an Wurzeln von Knospen oder an chaotischen Spitzen. Die Aussenwelt trägt so ein Adresssystem der gesamten Menge. Die zweite Ansicht zeigt die Fluchtzeit-Parität — die Niveaulinien der Flucht.
Die vermeintlichen Bäche sind Artefakte der Diskretisierung — in Wahrheit glatte Äquipotentiallinien und Strahlen.Lege ein Gitter der Maschenweite ε über die Karte und zähle die Kästchen N(ε), die Rand berühren. Halbiere ε, zähle erneut. Aus dem Anstieg der Zählung liest man die Box-Counting-Dimension ab — das Mass der Rauheit.
D = lim ln N(ε) / ln(1/ε)Die Messung unten läuft über drei Verfeinerungen. Jede Zeile zeigt Maschenweite, Zählung und den lokalen Dimensions-Schätzer. Er steigt hartnäckig — und die Theorie weiss warum: Nach Shishikura (1991) hat der Rand die volle Dimension 2, so viel wie eine Fläche, obwohl er eine Kurve ist.
Ein Kästchen gilt als Rand-Kästchen, wenn unter ihm und seinen acht Nachbarn Gefangene und Entkommene gemischt liegen.Setze c = ¼ + ε, ein Haar rechts neben der Spitze der Kardioide. Der Orbit quetscht sich durch den Nacken — und braucht dafür umso länger, je kleiner ε ist. Dave Boll bemerkte 1991: Die Fluchtzeit N, mit √ε multipliziert, strebt gegen π. Am Übergang zwischen Herz und Knospe, c = −¾ + iε, gilt dasselbe mit ε statt √ε.
c = ¼ + ε: N·√ε → π c = −¾ + iε: N·ε → πWähle die Messstelle und die Feinheit ε = 10⁻ᵏ. Das Instrument zählt live — der Quotient nähert sich der Konstanten, während die Schrittfolge unten durch den Engpass kriecht.
Entdeckung dieser Session: Der Fehler schrumpft ungefähr wie √ε — jede Dezimalstelle an Feinheit schenkt eine halbe Stelle an π.