Fünf Felder, in denen die Mathematik in den letzten drei Jahren echte Sprünge gemacht hat — von der gelösten Kakeya-Vermutung über das geometrische Langlands-Programm bis zur Renaissance der Ramsey-Theorie und dem Einzug der KI in die mathematische Forschung selbst.
Die Kakeya-Mengen-Vermutung fragt, wie „klein" eine Menge sein kann, die eine Einheitsstrecke in jeder Richtung enthält. Im Februar 2025 bewiesen Hong Wang (NYU) und Joshua Zahl (UBC), dass jede solche Menge im ℝ³ volle Minkowski- und Hausdorff-Dimension 3 hat — eines der prominentesten offenen Probleme der harmonischen Analysis und geometrischen Maßtheorie.
Hong Wang, Joshua Zahl — Volumenabschätzungen für Vereinigungen konvexer Mengen, die zeigen, dass δ-Röhren-Unionen fast maximales Volumen haben müssen. Daraus folgt: Kakeya-Mengen in ℝ³ haben Dimension 3.
Larry Guth — Übersichtsvortrag des Séminaire Bourbaki über den Wang-Zahl-Beweis, geschrieben für ein breites mathematisches Publikum, mit Skizzen aller Kernideen.
Das Langlands-Programm — oft als „Große Vereinheitlichte Theorie der Mathematik" bezeichnet — verknüpft Zahlentheorie, Geometrie und Darstellungstheorie. Seine geometrische Variante wurde nach rund 30 Jahren kollektiver Arbeit bewiesen: 2024 schlossen Dennis Gaitsgory, Sam Raskin und ein neunköpfiges Team den Beweis in einer fünfteiligen Serie (über 1.000 Seiten) ab.
Dennis Gaitsgory, Sam Raskin — Der finale Teil der fünfbändigen Beweisserie: die Existenz einer eindeutigen Hecke-Eigengarbe zu jedem irreduziblen lokalen System, nachgewiesen durch die Geometrie des Stacks lokaler Systeme.
David Ben-Zvi — Informelle Einführung in die nun bewiesene Korrespondenz als „algebraischen Spektralsatz" für automorphe Garben: Zerlegung in monochromatische Objekte, diagonalisiert durch Hecke-Operatoren.
Yukinobu Toda — Erste Beweise der Dolbeault-Variante der geometrischen Langlands-Korrespondenz, die kategoriale Donaldson-Thomas-Theorie mit der Korrespondenz verknüpft — über „Limit-Kategorien" auf Modulstacks von Higgs-Bündeln.
Wie groß muss ein vollständiger Graph sein, damit jede Kantenfärbung eine monochromatische Clique erzwingt? Seit Erdős–Szekeres 1935 war die obere Schranke 4ᵏ für R(k) unverändert. Ab 2023 fiel eine Schranke nach der anderen — das Gebiet erlebt seine dynamischste Phase seit Jahrzehnten.
Campos, Griffiths, Morris, Sahasrabudhe — R(k) ≤ (4 − ε)ᵏ: die erste exponentielle Verbesserung der Erdős–Szekeres-Schranke seit 1935.
Narang, Tang — Verbessern die Multicolor-Schranke von Balister et al. (arXiv:2410.17197) auf R_r(k) ≤ exp(−Ω(k/(r⁹(log r)⁶))) · r^(rk) mittels eines „robusten OR-Polynom"-Frameworks.
Saharon Shelah — Verbessert die Schranken für Hales-Jewett-Zahlen von iterierten Türmen („wowzer"-artig) auf Türme von Exponentiationen; der Induktionsschritt kommt mit 2-Exponentiationen statt Türmen aus.
Robert Morris — Übersicht über die Durchbruchswelle: exponentielle Verbesserungen bei diagonalen, fast-diagonalen und mehrfarbigen Ramsey-Zahlen, neue untere Schranken für R(3,k) und R(4,k) sowie induzierte Ramsey-Zahlen.
Gibt es eine einzige Kachelform, die die Ebene parkettiert, aber niemals periodisch? Dieses „einstein"-Problem (ein Stein) war jahrzehntelang offen. 2023 lieferte der Hobby-Mathematiker David Smith zusammen mit Myers, Kaplan und Goodman-Strauss gleich zwei Antworten — und eine parallel gelöste gruppentheoretische Variante (Greenfeld & Tao) rundet das Bild ab.
Smith, Myers, Kaplan, Goodman-Strauss — Der „Hat": ein Polykite, das die Ebene nur aperiodisch kachelt. Beweis über Metatile-Substitutionsregeln und ein neues geometrisches Inkommensurabilitätsargument.
Dieselben Autoren — Das „Spectre": ein streng chirales aperiodisches Monotile, das selbst ohne gespiegelte Kacheln ausschließlich aperiodische, hierarchische Parkettierungen zulässt.
Batle, Bednorz — Hat- und Spectre-Parkettierungen liefern Quantenfehlerkorrektur-Codes: Superpositionen über Isometrie-Orbits schützen Quanteninformation gegen Löschung beliebiger beschränkter Regionen.
Der vielleicht tiefgreifendste Wandel der letzten drei Jahre: KI-Systeme lösen nicht mehr nur Wettbewerbsaufgaben, sondern produzieren verifizierbare Forschung — von IMO-Goldmedaillen-Niveau bis zu autonom geschriebenen, peer-review-fähigen Papieren.
Google DeepMind (Feng, Trinh u. a.) — „Aletheia", ein Forschungsagent auf Gemini-Deep-Think-Basis: generierte u. a. ein vollständig KI-erstelltes Paper zu Eigenweights in der arithmetischen Geometrie, ein Human-AI-Kollaborationspaper und löste autonom vier offene Fragen aus Blooms Erdős-Conjectures-Datenbank (700 Probleme evaluiert).
Zhao, Shen u. a. — „InternGeometry" löst 44 von 50 IMO-Geometrieaufgaben (2000–2024), über dem Goldmedaillen-Schnitt — mit nur 13.000 Trainingsbeispielen (0,004 % der Datenmenge von AlphaGeometry 2), inklusive neuartiger Hilfskonstruktionen, die in menschlichen Lösungen nicht vorkommen.
Tutunov u. a. — Bayessche Optimierung + Monte-Carlo-Tree-Search liefern neue State-of-the-art-Oberschranken für Kugelpackungen (Hilberts 18. Problem) in den Dimensionen 4–16, indem semidefinite Programme als sequentielles Entscheidungsspiel konstruiert werden.
Zhang u. a. — Agentische Formalisierung der Shor-Algorithmus-Familie im Theorembeweiser Lean: Agenten schreiben und reparieren Lean-Code, Menschen prüfen die wissenschaftlichen Aussagen, die Maschine verifiziert die Beweise.
Chronologische Einordnung der wichtigsten Einzelresultate.
| Datum | Resultat | Referenz |
|---|---|---|
| Mär 2023 | Aperiodisches Monotile („Hat") — Einstein-Problem gelöst | 2303.10798 |
| Mär 2023 | Erste exponentielle Verbesserung der Diagonal-Ramsey-Schranke seit 1935 | 2303.09521 |
| Mai 2023 | Chirales aperiodisches Monotile („Spectre") | 2305.17743 |
| Sep 2024 | Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung (Teil V abgeschlossen) | 2409.09856 |
| Feb 2025 | Kakeya-Mengen-Vermutung in ℝ³ bewiesen | 2502.17655 |
| Dez 2025 | LLM-Agent über Goldmedaillen-Niveau bei IMO-Geometrie; neue Kugelpackungs-Schranken per KI | 2512.10534, 2512.04829 |
| Feb 2026 | DeepMind Aletheia: autonome mathematische Forschung, vier Erdős-Probleme gelöst | 2602.10177 |
| Apr 2026 | Séminaire Bourbaki zum Kakeya-Beweis (Guth) | 2604.03416 |
| Jul 2026 | Shelah verbessert Hales-Jewett-Schranken; Monotile-Quantencodes | 2607.14732, 2607.15326 |