Quantennarben im Stadion-Billard
Ein Billardtisch in Form eines Stadions — ein Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen. 1974 beweist Leonid Bunimowitsch, dass eine Kugel darauf vollständig chaotisch läuft: zwei benachbarte Bahnen entfernen sich exponentiell, fast jede Bahn füllt den Tisch gleichmäßig aus. Die Quantenmechanik sollte dem folgen. Ihre Eigenzustände, sagt der Satz von der Quantenergodizität, verteilen sich im Mittel gleichmäßig über den Tisch; Michael Berry beschreibt sie 1977 als eine zufällige Überlagerung ebener Wellen — strukturloses Wellenrauschen.
1984 sieht Eric J. Heller nach. Und findet das Gegenteil: Ein Teil der Zustände drängt sich entlang genau jener wenigen Bahnen zusammen, die sich schließen — der instabilen periodischen Bahnen. Ausgerechnet die Bahnen, die klassisch verschwindend selten sind, weil jede Störung von ihnen wegführt, hinterlassen im Wellenbild eine helle Spur. Heller nennt sie Narben.
Was hier gerechnet wird. Kein Bild, sondern ein Versuch. Auf der Grafikkarte läuft die zeitabhängige Schrödingergleichung als versetztes Sprungverfahren nach Visscher: Real- und Imaginärteil werden abwechselnd um einen halben Zeitschritt weitergesetzt. Die Wand ist hart, die Wellenfunktion dort null. Ein Gaußsches Wellenpaket startet auf einer periodischen Bahn, mit deren Impuls.
Der Kamm. Kehrt das Paket nach einem Umlauf an seinen Ausgangsort zurück, schlägt die Autokorrelation ⟨ψ(0)|ψ(t)⟩ aus. Eine Folge solcher Rückkehren ist im Frequenzbild ein Kamm — Linien im Abstand 2π/T, gesetzt von der Umlaufzeit der klassischen Bahn. Der Streifen unten links ist dieses Spektrum, live gemessen; der Zeiger steht auf dem stärksten Zahn.
Die Belichtung. Auf diesem Zahn wird die Welle dann gefiltert: A = Σ eiEt ψ(t), Bild für Bild aufaddiert wie auf einer Fotoplatte. Alles, was nicht zu dieser Energie gehört, mittelt sich fort; was bleibt, ist der Eigenzustand. Er baut sich über eine halbe Minute auf und wird dabei immer schärfer — je länger die Belichtung, desto feiner die Energieauflösung.
Die Gegenprobe. Ein Druck auf Gegenprobe verstellt die Energie um einen halben Kammabstand — genau zwischen zwei Zähne. Dieselbe Rechnung, dieselbe Bahn, dieselbe Belichtungszeit: Die Ordnung fällt in sich zusammen und übrig bleibt das strukturlose Rauschen, das Berry vorhergesagt hatte. Die Narbe ist keine Darstellungsentscheidung. Sie ist an eine Zahl gebunden.
Die gezeigten Bahnen sind nicht gezeichnet, sondern gesucht: Ein Strahl startet senkrecht von der Kappenwand; trifft er irgendwann wieder senkrecht auf eine Wand, läuft er in sich zurück und ist geschlossen. Ein Vorzeichenwechsel dieser Bedingung, eingeschachtelt bis auf sechzehn Stellen — daher der krumme Startwinkel.
Eric J. Heller, Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits, Phys. Rev. Lett. 53, 1515 (1984)
Leonid A. Bunimovich, On the ergodic properties of nowhere dispersing billiards, Commun. Math. Phys. 65, 295 (1979)
Michael V. Berry, Regular and irregular semiclassical wavefunctions, J. Phys. A 10, 2083 (1977)
Steven W. McDonald & Allan N. Kaufman, Spectrum and eigenfunctions for a Hamiltonian with stochastic trajectories, Phys. Rev. Lett. 42, 1189 (1979)
Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer 1990
P. B. Visscher, A fast explicit algorithm for the time-dependent Schrödinger equation, Computers in Physics 5, 596 (1991)
Berenice Abbott, Documenting Science — Wellenbilder, MIT 1958–1960 · Anna Atkins, Photographs of British Algae: Cyanotype Impressions, 1843
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Diese Arbeit löst die Schrödingergleichung auf der Grafikkarte. Dieser Browser stellt dafür kein WebGL 2 bereit. Der Text über die Arbeit ist unten weiterhin zu lesen.
Narben: eine in Echtzeit gerechnete Darstellung quantenmechanischer Eigenzustände in einem chaotischen Stadion-Billard. Ein Wellenpaket wird auf einer geschlossenen klassischen Bahn gestartet; aus seiner Zeitentwicklung wird über ein Energiefilter ein Eigenzustand belichtet. Er zeigt helle Streifen entlang genau dieser Bahn — eine Narbe.