Aus Rauschen wird Ordnung · ein Instrument ohne Stimmgerät

Niemand stimmt

Sechs Stimmen, zufällig verstimmt. Jede hört nur, wie rau es um sie herum klingt, und rückt ein wenig dorthin, wo es glatter wird. Kein Intervall und kein Akkord steht im Code. Die Ordnung steht im Klang selbst.

Mit Ton erzählt sich der Vorgang am deutlichsten: Man hört die Reibung langsamer werden und aufhören. Der Ton blendet sanft ein. Auf dem iPhone muss der Stummschalter dafür aus sein.

Die sechs Stimmen, von unten

    Rauigkeit, letzte 40 Sekunden

    jetzt: –

    Lesen: Jede Zeile ist eine Stimme, jeder senkrechte Strich einer ihrer Teiltöne, der dickste ist der Grundton. Rote Wellen verbinden Teiltöne, die sich reiben; sie laufen mit ihrer Schwebungsfrequenz. Schwarze Linien verbinden Teiltöne, die genau zusammenfallen. Zieh eine Zeile zur Seite, um eine Stimme zu verstimmen, und lass los. Die Unruhe sind zufällige Stöße; sie klingen von selbst ab, solange du den Regler nicht anfasst.

    Ohne JavaScript läuft das Instrument nicht, aber der Vorgang steht vollständig unten: Sechs Stimmen beginnen an zufälligen Tonhöhen und reiben sich hörbar. Jede rückt dorthin, wo ihre Teiltöne weniger mit denen der anderen schweben. Nach einigen Sekunden stehen sie in Intervallen wie Quinte, Terz und Oktave, weil dort ihre Obertöne zusammenfallen. Die Kurve im dritten Abschnitt zeigt, warum.

    1 · Was man hörtReibung

    Zwei Töne, die fast gleich hoch sind, klingen nicht wie zwei Töne, sondern wie einer, der pulsiert: Die Lautstärke schwillt |f₁ − f₂|-mal in der Sekunde an und ab. Das ist eine Schwebung. Rücken die Töne weiter auseinander, wird das Pulsieren zu schnell, um es zu zählen, und klingt rau. Noch weiter auseinander hört es auf.

    Hermann von Helmholtz hat 1863 in der »Lehre von den Tonempfindungen« vorgeschlagen, dass diese Rauigkeit das ist, was wir als Dissonanz hören. Ein Ton eines Instruments ist dabei nie ein einzelner Sinus, sondern ein Bündel von Teiltönen. Gerieben wird zwischen allen Teiltönen beider Töne.

    Am Anfang des Stücks liegen sechs solche Bündel zufällig verteilt. Überall reibt es. Das ist die Unordnung, und man hört sie.

    2 · Die RegelJede Stimme rückt bergab

    Reinier Plomp und Willem Levelt haben 1965 gemessen, wie rau zwei Sinustöne je nach Abstand wirken: glatt im Einklang, am rauesten bei etwa einem Viertel der kritischen Bandbreite des Gehörs, wieder glatt, sobald der Abstand diese Bandbreite übersteigt. William Sethares hat die Kurve 1993 in eine Formel gefasst. Diese Seite benutzt sie unverändert, für zwei Teiltöne mit den Frequenzen f₁, f₂ und den Stärken a₁, a₂:

    d = min(a₁, a₂) · ( e−3,51·s·Δf − e−5,75·s·Δf )
    s = 0,24 / (0,0207 · fmin + 18,96)

    Jede Stimme hat sechs Teiltöne, im Klang »Stab« vier. Was sie »hört«, ist die Summe dieser Formel über alle Paare aus ihren Teiltönen und denen der fünf anderen Stimmen. In jedem Schritt prüft jede Stimme, ob es ein wenig höher oder ein wenig tiefer weniger rau wäre, und rückt in diese Richtung. Mehr geschieht nicht. Das ist die Zeile, in der die Ordnung entsteht:

    var weg = -0.006 * steigung * dt / (1 + 0.006 * dt * kruemmung);

    Dazu kommt Unruhe: zufällige Stöße, die anfangs groß sind und von selbst abklingen. Solange sie stärker sind als das Gefälle, wandern die Stimmen. Lässt die Unruhe nach, fängt das erste Tal eine Stimme, und weil sich mit ihr die Landschaft der anderen ändert, das nächste. Man hört es als Schwebungen, die langsamer werden, wie ein Pendel kurz vor dem Stillstand, und dann aufhören.

    3 · Warum ausgerechnet Quinte und TerzWas sich deckt, reibt nicht

    Nirgends im Code steht 3:2. Die Stimmen landen trotzdem dort, weil bei diesem Verhältnis der dritte Teilton des tieferen Tons genau auf den zweiten des höheren fällt und der sechste auf den vierten. Zusammenfallende Teiltöne reiben sich nicht. Die Kurve ist die Summe aller Reibungen zweier solcher Töne über ihrem Abstand. Ihre Täler liegen bei 6:5, 5:4, 4:3, 3:2, 5:3 und 2:1: kleine und große Terz, Quarte, Quinte, große Sexte, Oktave.

    Rauigkeit zweier Töne mit je sechs ObertönenWaagerecht der Abstand zweier Töne von 0 bis 1250 Cent, senkrecht die berechnete Rauigkeit. Die Kurve steigt vom Einklang steil an und hat Täler bei den Verhältnissen 6:5, 5:4, 4:3, 3:2, 5:3 und 2:1.6:55:44:33:25:32:1rauerAbstand in Cent →
    Berechnet mit derselben Formel: zwei Töne, der tiefere bei 220 Hz, Teiltöne 1 bis 6 mit den Stärken 0,88n−1. Im Instrument erscheinen diese Deckungen als schwarze Linien zwischen den Zeilen.

    Welche dieser Täler sich füllen, entscheidet der Wurf. Mal entsteht ein Dur-Klang mit Quinte und großer Terz über der Oktave, mal eine Kette aus Quarten. Gesetzt wird keines davon.

    4 · Die GegenprobeAnderer Klang, andere Ordnung

    Wenn die Ordnung aus dem Klang kommt, muss ein anderer Klang eine andere hervorbringen. Unter »Klang« lässt sich das prüfen, mitten im Lauf.

    Saite
    Teiltöne beim 1-, 2-, 3- bis 6-Fachen des Grundtons, wie bei einer idealen Saite. Die Täler liegen bei den Intervallen der Kurve oben.
    Gespreizt
    Dieselben Teiltöne, aber jede Verdopplung wird zum 2,1-Fachen gedehnt. Die Täler wandern mit: Statt der Oktave 2:1 rastet das Verhältnis 2,1 ein, 1284 Cent, ein Intervall, das kein Klavier hat. Sethares nennt solche Paare aus gedehntem Klang und gedehnter Skala verwandt.
    Stab
    Die Eigenfrequenzen eines frei schwingenden Stabes, 1 : 2,756 : 5,404 : 8,933. Kein Teilton liegt beim Doppelten. Ein Tal liegt bei 1166 Cent, knapp unter der Oktave, aber keines auf ihr. Die Stimmen finden trotzdem Ordnung, nur eine, für die die Schulmusik keine Namen hat; die Spalte mit den Brüchen bleibt dann meist leer.

    5 · Was die Regel nicht kannEhrlich gesagt

    Gefälle kennt nur die Nachbarschaft. Die Stimmen finden ein Tal, nicht das tiefste, und manchmal bleibt eine in einem flachen Nebental hängen. Kommen sich zwei zu nahe, fallen sie in den Einklang; auch das ist Ordnung, nur eine arme.

    Das Modell ist eine Näherung an das Gehör, keine Theorie der Harmonie. Es weiß nichts von Tonarten, Funktionen oder Kulturen. Bemerkenswert ist, wie weit es trotzdem kommt.

    Zwei Eingriffe in die Darstellung: Im Code ist Δf um 0,3 Hz geglättet, damit ein fast erreichter Einklang nicht um die Spitze der Kurve zittert. Die roten Wellen laufen mit der Schwebungsfrequenz, ab 9 Hz aber nicht schneller; sie werden dann nur dichter, damit das Bild nicht flackert.

    QuellenNachzulesen

    1. Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863.
    2. R. Plomp, W. J. M. Levelt: Tonal Consonance and Critical Bandwidth. Journal of the Acoustical Society of America 38 (1965), S. 548–560.
    3. W. A. Sethares: Local consonance and the relationship between timbre and scale. Journal of the Acoustical Society of America 94 (1993), S. 1218–1228.
    4. W. A. Sethares: Tuning, Timbre, Spectrum, Scale. Springer, London 1998, 2. Auflage 2005.