Paradoxas — Fünf Präparate des Widerspruchs

Was ein Paradoxon ausmacht

Ein Paradoxon ist kein Rechenfehler und keine Wortklugheit. Es ist ein Argument, in dem jeder einzelne Schritt berechtigt ist und am Ende doch etwas Unmögliches steht: eine Straße, die alle Fahrer verlangsamt; eine Wette, für die es keinen vernünftigen Preis gibt; eine Wahl, bei der jeder Kandidat gegen jeden verliert; ein Lauf, der nie ankommt und dessen Zeit trotzdem abgelaufen ist. Die fünf Präparate dieser Arbeit sind keine Bilder davon. Sie sind die Rechnungen selbst — laufend, gemessen und neben die Theorie gestellt, die sie verspricht.

Was auf dem Bildschirm passiert, ist jedes Mal dieselbe Prozedur: ein Modell wird so lange weitergerechnet, bis es sich einpendelt, bis die Zahl springt oder bis sie zusammenläuft — und dann wird gemessen, was dabei herauskommt. Wo die Theorie eine Zahl verspricht, steht sie daneben. Wo Messung und Theorie auseinanderlaufen, ist das nicht der Fehler, sondern der Punkt.

I · Das zusätzliche Netzwerk

1968 veröffentlicht Dietrich Braess in der Unternehmensforschung einen kurzen Aufsatz mit einem Satz, den niemand glauben wollte: Es gibt Netzwerke, in denen der Bau einer weiteren Straße alle Fahrer verlangsamt. Das Modell ist unspektakulär. 4000 Fahrer wollen von Start nach Ziel. Der Weg über A besteht aus einer Engstelle, deren Fahrzeit sich mit der Belastung ändert (T/100 Minuten), und einer freien Breitstraße (45 Minuten); der Weg über B ist spiegelverkehrt. Ohne weitere Verbindung teilen sich die Fahrer die beiden Wege und brauchen je 65 Minuten.

Nun wird eine Abkürzung von A nach B gebaut, gratis. Jeder Fahrer prüft für sich, was sich lohnt — und bald fährt jeder dieselbe Zickzacklinie durch beide Engstellen: 4000/100 + 4000/100 = 80 Minuten. Das ist ein Gleichgewicht: Wer jetzt auf einen der alten Wege ausweicht, braucht 85 Minuten. Niemand kann sich allein verbessern, alle sind schlechter dran als vorher.

Was hier gerechnet wird. Die Fahrer sind Punkte auf den Straßen. Jeder sucht sich nach jeder Ankunft den seinerzeit kürzesten Weg; die Straßenkosten folgen aus der Zahl der Punkte darauf. Die Verteilung pendelt sich ein und wird gegen die exakt gelöste Gleichgewichtsverteilung gehalten. Unten links liegt die Verteilung der gemessenen Ankunftszeiten, der Strich daneben die gerechnete.

Drei Zahlen. Das Gleichgewicht mit der Abkürzung, dasselbe ohne sie — und das, was ein Planer erreichen dürfte, wenn er die Fahrer verteilen könnte: bei 4000 Fahrern 64,7 Minuten, mit 500 Fahrern auf der Abkürzung. Der Abstand zwischen Planer und Gleichgewicht ist der Preis der Anarchie, hier 1,24. Für Kosten, die linear mit der Belastung steigen, liegt er nach Roughgarden und Tardos nie über 4/3.

Wann das Paradoxon verschwindet. Über ↑ ↓ ändert sich die Nachfrage. Unter 3000 Fahrern ist die Abkürzung ein reiner Gewinn, zwischen 3000 und 9000 ein Schaden — am schlimmsten bei 4500 Fahrern mit 22,5 Minuten extra — und ab 9000 Fahrern nimmt sie im Gleichgewicht ohnehin niemand mehr. Das Paradoxon ist keine Eigenschaft der Straße, sondern ein Intervall.

Braess' Satz gilt seitdem für alles, was sich in Netzwerken verteilt: Stromnetze, Rechenzentren, Warteschlangen. Überall dort, wo viele ihre eigene Route wählen, kann zusätzliche Kapazität den Durchschnitt senken.

II · Achilles und die Treppe ohne Ende

Um 450 v. Chr. formuliert Zeno von Elea, Schüler des Parmenides, vier Einwände gegen die Teilbarkeit der Bewegung; überliefert sind sie vor allem durch Aristoteles' Physik. Der bekannteste: Achilles verfolgt eine Schildkröte, die 100 Meter Vorsprung hat und zehnmal langsamer läuft. Er erreicht ihren Ausgangspunkt, in der Zwischenzeit ist sie weiter — er erreicht diesen Punkt, und so fort. Die Zwischenzeiten sind 10 s, 1 s, 0,1 s, …; unendlich viele davon summieren sich auf 11,111… Sekunden.

Der Einwand von damals lautete: Wer unendlich viele Schritte machen muss, braucht unendlich viel Zeit. Aristoteles weist das zurück, indem er zwei Arten von Unendlichkeit unterscheidet — die potentielle, die immer weitergehen kann, und die vollzogene. Der Grenzwertbegriff, den Cauchy 1821 in seinem Cours d'analyse formuliert, macht daraus eine Rechnung: Für jedes ε gibt es einen Schritt, ab dem der Rest darunter bleibt. Das Argument braucht kein Ende — es braucht nur eine Schranke.

Was hier gerechnet wird. Der Schrittzähler läuft, und für ihn werden mit doppelter Genauigkeit der Abstand 100 m · 10⁻ⁿ und die verstrichene Zeit T(1 − 10⁻ⁿ) gebildet. Die Zeitachse unten ist logarithmisch: jede Kerbe ist ein Zehntel der verbleibenden Zeit. Auf dieser Achse rückt die Ankunft nicht näher — sie steht unendlich weit rechts.

Zahlen, die es vorher nicht gab. Ab Schritt 17 ist der Abstand kleiner als ein Proton, ab Schritt 37 kleiner als die Plancklänge von 1,6 · 10⁻³⁵ m. Die verstrichene Zeit ist zu dem Zeitpunkt längst bis auf die letzten Stellen zusammengelaufen. Keiner der beiden Werte wird je einen Sprung tun: Der eine läuft gegen eine Schranke, der andere gegen nichts.

Die Lupe. Sie zeigt den Abstand in Bildmaßstäben, die nichts mehr mit dem Streckenmaßstab zu tun haben; der Faktor steht daneben und ist aus Bildmaßstab und wahrem Abstand gerechnet, nicht behauptet. Über ↑ ↓ regelt das Tempo, über Z wechselt es in den Schrittbetrieb, in dem jeder Zwischenpunkt einzeln verfolgt werden kann.

III · Die Wette ohne Preis

1713 legt Nicolaus Bernoulli der Akademie in Petersburg ein Problem vor, das sein Bruder Daniel 1738 in der Specimen theoriae novae de mensura sortis löst: eine Münze wird geworfen, bis Kopf fällt; fällt es beim ersten Wurf, gibt es 2 Taler, beim zweiten 4, beim dritten 8 — der Gewinn verdoppelt sich mit jeder Runde. Der Erwartungswert ist 1 + 1 + 1 + … = ∞. Kein Endsummand ist groß, und doch ist die Summe unendlich.

Trotzdem würde niemand für dieses Spiel mehr als ein paar Taler bezahlen — allein schon, weil die Bank begrenzt ist. Bernoulli ändert deshalb die Frage: nicht der erwartete Gewinn, sondern der erwartete Nutzen entscheidet; er setzt ihn proportional zum Logarithmus des Vermögens. Dann ist die Rechnung endlich, und die Wette bekommt einen Preis. Das Paradoxon sitzt nicht in der Arithmetik, sondern in der Frage, was man gefragt hatte.

Was hier gerechnet wird. Pro Bild werden Münzwürfe gezogen und verbucht: das Histogramm der Gewinne gegen die exakte Wahrscheinlichkeit 2^−k, und der laufende Mittelwert über die Zahl der Versuche. Nichts wird interpoliert. Wo der Balken endet, endet die Versuchszahl — nicht das Spiel.

Jeder Balken trägt 1. Der k-te Gewinn ist 2^k, seine Wahrscheinlichkeit 2^−k; ihr Produkt ist immer exakt 1. Der Erwartungswert ist die Summe über alle Balken, und es gibt unendlich viele. Der laufende Mittelwert springt — die Varianz ist selbst unendlich — und steigt dabei langsam weiter, ohne je irgendwo zu bleiben.

Der Deckel. Über G wird das Spiel auf höchstens K Würfe begrenzt (mit 2^K als Ersatzgewinn). Dann ist der Erwartungswert exakt K + 1 — eine gerade, endliche Zahl, die über ↑ ↓ verschoben wird und der die Messung folgt. Das ist dieselbe Wette, nur mit einer Schranke, die vorher niemand gezogen hatte.

IV · Die vertauschten Ergebnisse

Edward H. Simpson beschreibt 1951 in der Journal of the Royal Statistical Society eine Eigenschaft von Kontingenztabellen, die heute nach ihm benannt wird: Eine Tendenz, die in jeder Teilgruppe in dieselbe Richtung weist, kann nach dem Zusammenfassen in die Gegenrichtung umkippen. Das berühmteste Beispiel ist keine Statistikübung, sondern eine Medizinstudie.

Charig, Webb, Payne und Wickham vergleichen 1986 im BMJ zwei Verfahren zur Entfernung von Nierensteinen: die offene Operation (A) und die perkutane Nephrolithotomie (B). Erfolgreich waren A bei 78 %, B bei 83 % — B sieht besser aus. Nach der Größe der Steine geteilt gewinnt A in beiden Gruppen: bei kleinen Steinen 93 % gegen 87 %, bei großen 73 % gegen 69 %. Zwei Teilgruppen, ein Gesamtergebnis, entgegengesetzte Aussage.

Was hier gerechnet wird. Aus den vier Zählungen (81/87, 192/263, 234/270, 55/80) werden die Quoten gebildet und die Aggregate nach der Fallmischung gewichtet. Über ↑ ↓ wird die Mischung von der beobachteten zur gemeinsamen verschoben: beide Behandlungen bekommen dann dieselbe Verteilung von klein und groß. Der Umschlag liegt bei 46 %.

Der Grund steht in den Zahlen. 75 % der offenen Eingriffe galten großen Steinen, aber nur 23 % der geschlossenen. Die Gruppe mit der niedrigeren Erfolgsquote hatte die schwereren Fälle. Nicht die Behandlung ist verzerrt, sondern die Auswahl — ein sogenannter Konfounder. Sobald beide Verfahren dieselbe Mischung bedienen, gewinnt A, und zwar bei jeder Mischung.

Die Folge ist unbequem. Eine Quote ohne Angabe, wem sie wie zugewogen ist, kann das Gegenteil ihrer eigenen Teile behaupten. Gleiches gilt in umgekehrter Richtung für jede Kennzahl, die über Gruppen hinweg gebildet wird — Kennzahlen von Abteilungen, Kliniken, Ländern, Jahrgängen.

V · Die kreisende Mehrheit

1785 legt Marie Jean Antoine Nicolas de Condorcet in seinem Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix dar, was es heißen soll, wenn eine Mehrheit einen Kandidaten allen anderen vorzieht. Sein Kriterium ist schlicht: Wer die anderen paarweise schlägt, soll gewinnen. Und dann zeigt er, dass dieses Kriterium ins Leere laufen kann.

Drei gleiche Lager zu gleichen Dritteln, jedes mit einer anderen Ordnung: A > B > C, B > C > A, C > A > B. Der paarweise Vergleich ergibt A schlägt B, B schlägt C, C schlägt A — jede dieser Mehrheiten mit zwei Dritteln der Stimmen. Die Mehrheit ist keine Ordnung. Es gibt keinen Kandidaten, der alle anderen schlägt; Condorcets eigenes Kriterium findet niemanden.

Was hier gerechnet wird. 300 Stimmen in drei Blöcken, nach Präferenz- reihenfolge. Sämtliche Mehrheiten — paarweise, Erststimmen, Stichwahl — werden live aus diesen Stimmen gezählt; nichts im Bild ist eingetragen. Über R wird bestimmt, wer zuerst ausscheidet, über ↑ ↓ verschiebt sich das Gewicht der Blöcke.

Die Reihenfolge entscheidet. Fällt C, gewinnt A mit 200:100; fällt A, gewinnt B; fällt B, gewinnt C. Alle drei sind in der Stichwahl unschlagbar — je danach, wer zuerst fällt. Und solange kein Block mehr als die Hälfte hat, bleibt der Kreis geschlossen: Er ist keine Ausnahme der Regel, sondern ihre Regel.

Was davon bleibt. Arrow zeigte 1951, dass das kein Zufall ist: Keine Wahlregel, die ein paar naheliegende Fairness-Bedingungen erfüllt, kann die Mehrheitsvergleiche in allen Situationen respektieren. Condorcets Kreis ist der kleine, anschauliche Anfang dessen.

Dietrich Braess, Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung, Unternehmensforschung 12, 258–268 (1968)
J. G. Wardrop, Some theoretical aspects of road traffic problems, Proc. Inst. Civil Eng. 1, 258–275 (1952)
Tim Roughgarden & Éva Tardos, How bad is selfish routing?, J. ACM 49, 236–259 (2002)
Aristoteles, Physik VI, 239b — die Einwände Zenons von Elea, überliefert durch Simplicius
Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École polytechnique, Paris 1821
Daniel Bernoulli, Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Acad. Sci. Imp. Petropolitanae 5 (1738)
William Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, New York 1968
E. H. Simpson, The Interpretation of Interaction in Contingency Tables, J. R. Statist. Soc. B 13, 238–241 (1951)
C. R. Charig, D. R. Webb, S. R. Payne & J. E. A. Wickham, Comparison of treatment of renal calculi by open surgery, percutaneous nephrolithotomy, and extracorporeal shockwave lithotripsy, Br. Med. J. 292, 879–882 (1986)
S. A. Julious & M. A. Mullee, Confounding and Simpson's paradox, Br. Med. J. 309, 1480–1481 (1994)
Marquis de Condorcet, Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Paris 1785
Kenneth Arrow, Social Choice and Individual Values, New York 1951

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