C(n,k) = |2·L − 1·R| mod 8, Apex = [1] (Familie v3, algo-0077)
Anti-Pascal (IMO 2018/3, |L − R|) hat für Apex [1]
ein bekanntes Bild: das Sierpinski-Dreieck, weil |L−R| ≡ L−R ≡ L+R
(mod 2). Ersetzt man den linken Term durch 2L, bleibt
das Sierpinski-Bild gleich — aber der Zahleninhalt wird zu
Zweierpotenzen: T(n,k) = 2^k genau dort, wo der binomische
Koeffizient C(n,k) ungerade ist. Nimmt man davon zusätzlich
mod m, passiert etwas, das mit reinem Anti-Pascal nicht geht:
wenn m und 2 denselben Primfaktor teilen (z. B.
m = 8 = 2³), wird 2^k mod m irgendwann exakt
0 — unabhängig davon, ob C(n,k) gerade oder
ungerade ist. Ab Spalte k = 3 ist in diesem Dreieck jede
Zelle Null. Das Sierpinski-Fraktal wird bei Spalte 3 im wörtlichen Sinn
abgeschnitten: was übrig bleibt, sind drei sich wiederholende
Diagonalstreifen statt eines unendlich verschachtelten Musters.
Satz (allgemein, für jede ganze Zahl a und jedes
m ≥ 2). Für T(n,k) = |a·L − R| mod m mit
Apex [1] gilt exakt:
T(n,k) = (a^k mod m) · [C(n,k) ist ungerade]
Beweis. Induktion über n, mit
p(m,j) := C(m,j) mod 2 ∈ {0,1} und Kurzschreibweise
r_j := a^j mod m. Annahme:
T(n-1,j) = r_j · p(n-1,j) für alle j. Setze
p1 := p(n-1,k-1), p2 := p(n-1,k). Vier Fälle:
p(n,k) = p1 XOR p2 = 0 — stimmt.a·T(n-1,k-1) − T(n-1,k)
= a·r_{k-1} − 0 = a·r_{k-1}. Da r_{k-1} = a^{k-1} mod m,
gilt a·r_{k-1} ≡ a^k (mod m) — Modulo respektiert
Multiplikation mit einer Konstanten, unabhängig davon, wie oft dabei
„gewrappt" wird. Also |a·r_{k-1}| mod m = a^k mod m = r_k.
Ziel: p(n,k) = 1 XOR 0 = 1, Wert r_k — stimmt.a·0 − r_k = −r_k,
Betrag r_k, bereits in [0,m). Ziel:
p(n,k)=1, Wert r_k — stimmt.a·r_{k-1} − r_k. Da
a·r_{k-1} ≡ a^k ≡ r_k (mod m) und a·r_{k-1} ≥ 0,
ist a·r_{k-1} = r_k + m·t für ein t ≥ 0. Differenz
= m·t ≥ 0, Betrag ändert nichts, mod m = 0. Ziel:
p(n,k) = 1 XOR 1 = 0 — stimmt.Induktionsanfang T(0,0) = 1 = r_0·p(0,0). Alle vier Fälle
schließen den Induktionsschritt. ∎
Korollar — zwei Regime. Ob das Bild klassisches Sierpinski bleibt
oder abgeschnitten wird, hängt nur davon ab, ob a^k mod m
jemals 0 wird:
| Bedingung | Verhalten von a^k mod m | Bild |
|---|---|---|
jeder Primfaktor von m teilt a
(z. B. a=2, m=8=2³) |
wird ab einem festen k exakt 0 | abgeschnitten — nur die ersten Spalten leben, Rest immer 0 |
mindestens ein Primfaktor von m teilt a
nicht (z. B. a=2, m=5 oder m=6) |
nie 0, zyklisch mit fester Periode | identisch zum klassischen Sierpinski-Nullstellenbild |
Geprüft (nicht nur behauptet): a=2 gegen m=5,6,7,9,11 — Nullstellenbild bitgleich zum unreduzierten Fall bzw. reinem Anti-Pascal, exakt wie die Formel vorhersagt. a=3 gegen m=9 (Primfaktor 3 | 3): bricht bei Spalte 2 auf dieselbe Art ab wie hier bei Spalte 3.
Zeilensumme ist exakt periodisch
mit Periode 4: 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, … — eine direkte Folge
der geschlossenen Form, kein Fenster-Artefakt.