C(n,k) = | L − R + G |, Apex [5, 3, 8]
Dieses Dreieck ist eine Variante des klassischen Pascal-Dreiecks: jeder Eintrag
ist nicht nur die Summe seiner zwei Eltern, sondern Differenz des linken
Elternwerts L und des rechten R, plus dem Wert
G des Großelternteils zwei Zeilen weiter oben — alles im
Absolutbetrag genommen (Anti-Pascal-Familie, motiviert von IMO 2018/3).
Startzeile (Apex) ist frei wählbar; hier [5, 3, 8].
Ohne Betragsstriche ist diese Rekurrenz linear, und für die Kopplungskonstante
d = 1 (bei a=1, b=−1 gilt d = −a·b) lässt
sie sich exakt lösen: die erzeugende Funktion einer Zeile faktorisiert sauber,
und man erhält eine geschlossene Formel für jeden einzelnen Eintrag — ganz ohne
Modulus, ganz ohne Näherung.
C(n,k) = a·L + b·R + d·G
mit d = −a·b gilt exakt
T(n,k) = Σⱼ apex[j] · a^(k−j) · b^(n−k+j).
Insbesondere ist jede Spalte k eine reine geometrische Folge in
n: T(n,k) = Cₖ · b^(n−k) mit einer
von n unabhängigen Konstante Cₖ. Bei b = −1
(wie hier) heißt das: jede Spalte alterniert ab ihrer allerersten Zeile exakt
zwischen +Cₖ und −Cₖ — kein Einschwingen, keine
Näherung, reine Algebra.
Der Betrag (abs) macht die Rekurrenz technisch nichtlinear — die
Formel oben gilt streng nur für die ungefaltete Version. Empirisch (und durch
diesen Lauf über 64 Zeilen bestätigt) bleibt das gefaltete Dreieck trotzdem für
immer beschränkt: Maximalwert bleibt exakt 10
über alle 64 Zeilen, das Alphabet kollabiert nach spätestens zwei
Zeilen Einschwingzeit auf nur sechs Werte
{0, 2, 3, 5, 8, 10}, und jede Spalte erreicht eine exakte
Periode 2. Das ist ein zweiter, eigenständiger
Beschränktheits-Mechanismus neben der bekannten Kontraktion des reinen
Anti-Pascal-Dreiecks (d=0) — dort fällt das Maximum monoton;
hier oszilliert es in einem festen Zyklus, obwohl der Großelternterm aktiv
mitmischt.
| Zelle = 0 | dunkel, blass |
| Zelle ≠ 0 | eingefärbt nach Wert |