Die Nullzeilen bei n = 2^k − 3

Das Muster

Ersetzt man die Pascal-Regel „Summe der beiden Eltern" durch „Summe der beiden Eltern plus eins" und rechnet modulo 2, entsteht ein binäres Dreieck mit einer auffällig regelmäßigen Skelett-Struktur:

• Komplette Nullzeilen exakt bei n = 2^k − 3 — Zeilen 1, 5, 13, 29, 61, … (im 64-Zeilen-Ausschnitt verifiziert).
• Komplette Einszeilen exakt bei n = 2^k − 2 — Zeilen 0, 2, 6, 14, 30, 62, … Jede Nullzeile wird also unmittelbar von einer Einszeile abgelöst: aus dem „Reset" auf 0 erzwingt die Konstante +1 eine volle Zeile.
• Spaltenperioden verdoppeln sich (2, 4, 4, 8, 8, …) — Selbstähnlichkeit mit Skalenindex 2, wie beim Sierpinski-Dreieck, aber phasenverschoben und invertiert.
• Zeilensummen an den Skelett-Indizes: Σ(2^k − 2) = 2^k − 1 (volle Zeile) und Σ(2^k − 1) = 2^k − 2.
• Einsen-Dichte ≈ 71 % (im 64-Zeilen-Ausschnitt) — das Dreieck ist „negativ" zum klassischen Pascal-mod-2-Dreieck, dessen Dichte gegen 0 fällt.

Anschauung: Die Konstante +1 wirkt wie ein dritter, überall präsenter Elternwert. Über GF(2) ist die Rekurrenz affin-linear — sie entspricht dem zellulären Automaten Rule 150 (XOR von links, rechts und konstant 1) mit invertierter Ausgabe.

k	n = 2^k−3 (Σ)	n = 2^k−2 (Σ)	n = 2^k−1 (Σ)

Σ = Anzahl der Einsen in der Zeile (= Zeilensumme, da Werte ∈ {0,1}).