Das Subtraktions-Dreieck: Chiralität und 3-adische Selbstähnlichkeit

C(n,k) = (L + 2R) mod 3 = (L − R) mod 3 · apex = [1]

Pascal-Modifikations-Experiment · Algo algo-0009 · Signatur sig-8b4882fc39ea · 81 Zeilen (3⁴)

Die Entdeckung

Was passiert, wenn das Pascal-Dreieck nicht addiert, sondern subtrahiert? Wegen 2 ≡ −1 (mod 3) ist die Rekurrenz (L + 2R) mod 3 nichts anderes als (L − R) mod 3: jeder Eintrag ist die Differenz seiner beiden Eltern. Das Ergebnis bricht die Spiegelsymmetrie des klassischen Dreiecks — und ersetzt sie durch etwas Strengeres. Alle folgenden Eigenschaften sind rechnerisch über 60–81 Zeilen verifiziert:

P1 · Kollaps-Zeilen. Jede Zeile n = 3^k kollabiert zu einem reinen Apex-Paar [2, 0, …, 0, 1]: Zeilen 3, 9, 27, 81 bestehen nur aus zwei Punkten. Das ganze Dreieck „atmet" mit Perioden von Dreierpotenzen.

P2 · Chiralität statt Symmetrie. Die gespiegelte Zeile ist nicht die Zeile selbst, sondern ihr Negatives bei ungeradem n: reverse(Zeile n) ≡ (−1)ⁿ · Zeile n (mod 3). Gerade Zeilen sind Palindrome, ungerade Anti-Palindrome — das Dreieck ist „händig".

P3 · Asymmetrische Ränder. Die rechte Kante ist konstant 1; die linke Kante alterniert 1, 2, 1, 2, … — direkte Signatur von Subtraktion statt Addition.

P4 · Exakte 3-adische Selbsteinbettung. Nimmt man aus Zeile 3n jeden dritten Eintrag, erhält man exakt Zeile n: C(3n, 3k) ≡ C(n,k) (mod 3) — ohne Korrekturfaktor, über alle geprüften n = 1…18 (soweit 81 Zeilen reichen). Das Dreieck enthält sich selbst an jeder dritten Position, analog zum Lucas-Theorem beim klassischen Pascal-Dreieck.

Nullen-Dichte ≈ 62 % — das Fraktal ist „löchrig" wie Sierpinski, aber dreiwertig und chiral.

Das Dreieck (81 Zeilen)

Legende:012 · markierte Zeilennummern = Kollaps-Zeilen n = 3^k

Nachweis der Selbsteinbettung (P4)

n	Zeile 3n, jeder 3. Eintrag	Zeile n	gleich?

Die Tabelle zeigt Stichproben; der vollständige Abgleich für n = 1…26 (Zeilen bis 78) erfolgt beim Laden der Seite und ist unten ausgewiesen.

Erzeugt mit dem Harness pascal-modifikations-experiment (Familie v1, Seed 23). Die Zeilen werden im Browser live aus der parametrisierten Rekurrenz C(n,k) = (a·L + b·R + c) mod m mit a=1, b=2, c=0, m=3, apex=[1] berechnet — identisch zum Harness-Generator (Familie v1).