Freshman's Dream: das echte Pascal-Dreieck trifft auf mod 7

Die Doppelspitze [1, 1] erzeugt das klassische Pascal-Dreieck — die Zeilen 0 bis 3 sind exakt [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1], weil zwei um eins versetzte Pascal-Dreiecke sich zur Pascal-Rekurrenz addieren. Die Zeilensummen verdoppeln sich: 2, 4, 8, 16 — echte Zweierpotenzen, solange kein Wert den Modul 7 erreicht.

Zeile 6 ist der Star: [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] — alle Innenwerte verschwinden. Das ist der Freshman's Dream, der Frobenius-Endomorphismus: mod 7 gilt (1+x)7 ≡ 1 + x7, denn alle mittleren Binomialkoeffizienten C(7,k) sind durch 7 teilbar. Das Tal aus Nullen wächst danach keilförmig ins Dreieck, bis in Zeile 13 in der Mitte eine 2 als neuer Keim auftaucht und eine dritte Kopie des Dreiecks startet — Selbstreplikation in Aktion, exakt wie es der Satz von Lucas für Primzahl-Moduln vorhersagt.

Zeilensummen als Wrap-Detektor: 2, 4, 8, 16, 18, 22, 2, 4, 8, 16, 32, … — jeder Rücksetzer auf 2 markiert eine Frobenius-Zeile (n = 6, 13, …), dazwischen wächst die Summe exponentiell weiter. Der Harness misst dazu einheitliche Spaltenperioden von 7 (known_sequences: [] — die Folge ist ihm unbekannt).