Das Pell-Dreieck — was passiert, wenn Pascal die Großeltern dazunimmt
C(n,k) = L + R + G · L = C(n−1,k−1), R = C(n−1,k), G = C(n−2,k−1) · Apex [1], kein mod
Die klassische Pascal-Rekurrenz fragt nur die beiden Eltern. Diese Variante (Familie v2, algo-0046) addiert zusätzlich den Großeltern-Wert über der Mitte, G = C(n−2,k−1). Das ist exakt die Delannoy-Rekurrenz D(i,j) = D(i−1,j) + D(i,j−1) + D(i−1,j−1): Die Einträge sind die Delannoy-Zahlen — sie zählen Gitterwege mit Schritten rechts, runter und diagonal. Die Zeilensummen (rechte Spalte) sind die Pell-Zahlen.
Beobachtung 1 — Zeilensummen: die Pell-Folge
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (OEIS A000129)
P(n) = 2·P(n−1) + P(n−2). Beweis in einer Zeile: über eine ganze Zeile summiert liefern L und R je die volle Vorgängersumme (2·S(n−1)) und G liefert die Vor-Vorgängersumme (S(n−2)) — also S(n) = 2·S(n−1) + S(n−2). Das Verhältnis aufeinanderfolgender Summen konvergiert gegen den Silbernen Schnitt 1+√2 ≈ 2,414 (im klassischen Pascal ist es 2, bei Fibonacci der Goldene Schnitt).
P(n) = 2·P(n−1) + P(n−2). Beweis in einer Zeile: über eine ganze Zeile summiert liefern L und R je die volle Vorgängersumme (2·S(n−1)) und G liefert die Vor-Vorgängersumme (S(n−2)) — also S(n) = 2·S(n−1) + S(n−2). Das Verhältnis aufeinanderfolgender Summen konvergiert gegen den Silbernen Schnitt 1+√2 ≈ 2,414 (im klassischen Pascal ist es 2, bei Fibonacci der Goldene Schnitt).
Beobachtung 2 — Jeder einzelne Eintrag ist ungerade
Kein einziger gerader Wert im ganzen Dreieck (div2 = 0,0).
Beweis: Induktion — sind L, R, G ungerade, ist L+R+G als Summe von drei
ungeraden Zahlen wieder ungerade. Der Apex 1 startet die Kette. Das klassische
Pascal-Dreieck ist dagegen voll gerader Zahlen (sein Paritätsmuster ist das
Sierpinski-Gasket) — hier gibt es kein Paritätsmuster, weil die Parität
konstant ist.
Beobachtung 3 — Spalten und Mitte: bekannte Folgen
Rand: konstant 1. Erste Innenspalte (k=1): 1, 3, 5, 7, 9, … — die ungeraden
Zahlen.
Zweite Innenspalte (k=2): 1, 5, 13, 25, 41, 61, … = n² + (n+1)², die zentrierten Quadratzahlen (OEIS A001844).
Mitte: 1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, … — die zentralen Delannoy-Zahlen (OEIS A001850), Wege von (0,0) nach (n,n) mit diagonalen Abkürzungen. Das Dreieck ist also kein Neuling, sondern ein Fund: die v2-Rekurrenz mit a=b=d=1 ist das Delannoy-Objekt, aus der Pascal-Perspektive gefunden.
Zweite Innenspalte (k=2): 1, 5, 13, 25, 41, 61, … = n² + (n+1)², die zentrierten Quadratzahlen (OEIS A001844).
Mitte: 1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, … — die zentralen Delannoy-Zahlen (OEIS A001850), Wege von (0,0) nach (n,n) mit diagonalen Abkürzungen. Das Dreieck ist also kein Neuling, sondern ein Fund: die v2-Rekurrenz mit a=b=d=1 ist das Delannoy-Objekt, aus der Pascal-Perspektive gefunden.
Kontext
Erzeugt mit dem Harness des Pascal-Modifikations-Experiments, Familie v2
C(n,k) = (a·L + b·R + c + d·G) mod m, Parameter
a=1, b=1, c=0, d=1, mod=null, apex=[1], seed 26072301.
Signatur sig-db9a319ebda9. Variante mod 2 löscht alle Struktur
aus (konstante Einsen, algo-0047); die mod-3-Variante (algo-0048) zeigt
Pisano-artige Perioden.