C(n,k) = |2·L − 1·R|, Apex = [1, 2] (Familie v3, algo-0072)
Ausgangspunkt war Anti-Pascal (IMO 2018/3): jeder Eintrag ist der Betrag
der Differenz der beiden Eltern, |L − R|. Hier wird die linke
Seite zusätzlich verdoppelt: |2L − R|. Für den einfachsten
Apex [1] lässt sich das exakt lösen — jeder Eintrag ist
entweder 0 oder eine Zweierpotenz 2^k, und zwar
genau dort ungleich Null, wo der binomische Koeffizient ungerade ist
(klassisches Sierpinski-Muster mod 2). Für den breiteren Apex
[1, 2] unten hält dieselbe Eigenschaft — jede Zahl im
Dreieck ist 0 oder eine Zweierpotenz —, obwohl das Bild (die
Nullstellen-Menge) ein anderes ist als beim Apex [1].
Satz (Apex [s], ein einzelner Wert).
T(n,k) = s · 2^k falls C(n,k) ungerade ist,
sonst 0.
Beweis. Induktion über n. Schreibe
T(n-1,j) = s·2^j·p(n-1,j) mit
p(m,j) := C(m,j) mod 2 ∈ {0,1}. Dann
T(n,k) = |2·T(n-1,k-1) − T(n-1,k)|
= |2·s·2^(k-1)·p(n-1,k-1) − s·2^k·p(n-1,k)|
= s·2^k·|p(n-1,k-1) − p(n-1,k)|. Für Werte in {0,1}
ist |x − y| = x XOR y, und weil
(a+b) mod 2 = (a mod 2) XOR (b mod 2) für beliebige
ganze Zahlen a, b gilt, ist p(n-1,k-1) XOR p(n-1,k) = p(n,k) —
exakt dieselbe Rekursion wie C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
mod 2. Induktionsanfang: T(0,0) = s = s·2^0·p(0,0). ∎
Für den zusammengesetzten Apex [1, 2] unten ist dieser
Beweis nicht direkt anwendbar (Apex-Zeile ist keine einzelne Zahl) — die
Zweierpotenz-Eigenschaft ist hier empirisch geprüft (24 Zeilen,
Alphabet vollständig {0, 2^k}), nicht bewiesen. Ein
Gegen-Experiment mit Apex [3, 1] zeigt, dass die Eigenschaft
nicht für jeden Apex gilt (dort tauchen Werte wie 3, 5, 6, 12 auf) —
sie hängt vom genauen Verhältnis der Apex-Werte ab.