Elf Gravuren, gesetzt nach der Art alter Mathematik-Manuskripte. Jede Platte öffnet eine Eigenschaft des Dreiecks — Binomiale, Sierpinski, Fibonacci, Hockey-Stick, Catalan, der Stern, Kummer, Galton — und führt am Ende zu einer Beobachtung, die selten graviert wird.
Das Dreieck wächst aus einer einzigen 1, Zeile für Zeile, nach der simpelsten Regel der Kombinatorik. Jede Zahl zählt etwas: Wege durch ein Gitter, Auswahlen aus einer Menge, Koeffizienten in (x+y)n.
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)Mouse-Over auf eine Zelle hebt Zeile und linke Diagonale hervor. Klick friert eine Zelle für die Anzeige rechts ein — bei grösseren n wächst C(n,k) schnell über jede schöne Grössenordnung hinaus.
Regler: Zeilenzahl n. Bis 24 Zeilen bleibt die Lesbarkeit erhalten.Nimmt man die Parität jeder Zahl — ungerade hell, gerade dunkel — entsteht das klassische Sierpinski-Dreieck. Es ist keine Dekoration, sondern eine direkte Folge aus Lucas' Theorem.
C(n,k) ≡ Π C(ni, ki) (mod p)Die Ziffern von n und k in Basis p entscheiden, ob die Zelle verschwindet. Jede Primzahl stempelt dem Dreieck ihr eigenes fraktales Wappen auf.
512 Zeilen gerendert. Jedes Pixel = eine Zelle. Dunkel = durch p teilbar. Helligkeit = C(n,k) mod p in Spektrum.Zeile n addiert sich zu 2ⁿ. Jede Teilmenge einer n-elementigen Menge wird genau einmal gezählt — C(n,k) ist die Zahl der k-Teilmengen, und jede Teilmenge hat irgendeine Grösse.
Σk=0..n C(n,k) = 2nDie Tabelle rechts zeigt zugleich die alternierende Summe: Σ (-1)kC(n,k) = 0 für n ≥ 1 — Binomialsatz mit x = 1, y = -1.
Zähle in dem Muster \ über das Dreieck, aber flacher — je eine Zeile tiefer, eine Spalte nach rechts. Die Summen der Zellen in jeder flachen Diagonale sind: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … — Fibonacci, genau.
Fn+1 = Σk C(n-k, k)Klicke auf eine Zahl unten, um die entsprechende Diagonale im Dreieck rechts zu heben.
Die r-te Diagonale (beginnend bei r = 0) zählt die Anzahl der Punkte in einer r-Simplex-Anordnung. Von Einsen über Natürliche zu Dreiecks- zu Tetraederzahlen. Der Binomialkoeffizient ist ein geometrisches Objekt.
C(n+r, r) = r-Simplex der Grösse nIn vier Kolumnen rechts: die ersten vier Dimensionen, explizit nummeriert, visuell skizziert.
Starte bei irgendeiner Zelle an der Kante, laufe schräg hinein — die Summe all dieser Zellen steht in der Zelle, die das Muster um eine Zeile und um eine Spalte wegbiegt. Dies ist die Hockey-Stick-Identität.
Σi=r..n C(i,r) = C(n+1, r+1)Klicke unten auf den Start der Stange. Der Stock wird dir gezeigt, inklusive seines kicks.
Teile den mittigen Binomial C(2n, n) durch n+1 — heraus kommt Cn, die Catalan-Zahl. Sie zählt: nicht-kreuzende Verbindungen, wohlgeformte Klammer-Ausdrücke, Pfade unter der Diagonale, binäre Bäume.
Cn = C(2n,n) / (n+1) = C(2n,n) − C(2n, n+1)Die rechte Tabelle zeigt die Herleitung direkt aus zwei benachbarten Zentralzellen, eine davon verschoben.
Wähle eine Zelle. Ihre sechs unmittelbaren Nachbarn zerfallen in zwei verschränkte Dreiecke — der Davidstern. Das Produkt der drei Spitzen des einen Dreiecks ist immer gleich dem des anderen.
∏△A = ∏△B und gcd△A = gcd△BEin versteckter Symmetrie-Satz. Klicke auf eine innere Zelle unten — die beiden Dreiecke erscheinen in Rot und Türkis, ihre Produkte darunter zur Verifikation.
Eine Zeile mit Primzahlen-Index hat rot leuchtende Einsen an den Rändern — dazwischen sind alle Einträge durch p teilbar. Das ist eine direkte Konsequenz aus Lucas.
νp(C(n,k)) = # carries von k + (n−k) in Basis pRechts: Zeilen mit Prim-Index sind am Rand rot markiert, die Zahl oben rechts in jeder Zelle ist ν2(C(n,k)) — Kummers Formel lässt das Dreieck in 2-adische Tiefe versinken.
An jedem Peg wird eine Kugel mit 50/50 Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts geschickt. Nach n Pegs hat sie mit Wahrscheinlichkeit C(n,k)/2n die k-te Zelle erreicht.
P(k Treffer) = C(n,k) / 2nDie rote Kurve über dem Histogramm ist die Normalverteilung, an die sich das Binomiale annähert — de Moivre-Laplace. Pause/Reset per Button.
Für p = 2 und q = 3 sollten theoretisch 6 verschiedene Farben entstehen, die sich nach dem Chinesischen Restsatz zu einem einzigen Muster modulo 6 kombinieren. Die Folgerung: die fraktale Struktur mod p und die fraktale Struktur mod qinterferieren wie Wellen. Man sieht feine Bänder und wiederholende Dreiecke, deren Periode pq ist.
Farbe(n,k) = (C(n,k) mod p) · q + (C(n,k) mod q)Bewege die Regler unten. Wähle zwei teilerfremde Moduli. Probiere auch (2,5), (3,5), (3,7) — jede Kombination ein eigenes kristallines Wappen.
Entdeckung dieser Session: Die visuelle Dichte des Musters (Anteil nicht-vollständig teilbarer Zellen) skaliert wie (1 − 1/p)(1 − 1/q) — das Eulerprodukt im Kleinen, als Bild.