Wachstum

Wachstum

Eine geschlossene Linie liegt in der Ebene. Sie wird länger — nicht weil sie irgendwohin will, sondern weil zwischen zwei benachbarten Punkten ein dritter eingesetzt wird. Die Fläche, die sie umschließt, wächst dabei viel langsamer als ihr Umfang. Für eine Linie in der Ebene ist das eine unlösbare Aufgabe: Sie hat mehr Länge, als der Rand ihres Gebiets aufnehmen kann. Also legt sie sich in Falten.

Man sieht diese Falten am Rand eines Salatblatts, an der Krause einer Nacktschnecke, am Saum eines Riffkorallen-Kelchs, an den Windungen der Großhirnrinde und an einer Ammonitennaht. Es ist überall dieselbe Geometrie und nirgends dieselbe Absicht.

Verfahren

1. Die Linie ist ein Polygonzug aus Knoten in einer verketteten Liste. Jeder Knoten kennt Vorgänger und Nachfolger; mehrere Ringe sind mehrere Zyklen im selben Speicher.
2. Drei Kräfte je Schritt: eine Feder zu beiden Nachbarn, die den Sollabstand hält; eine Glättung zum Mittelpunkt der Nachbarn, die die Krümmung abbaut; eine Abstoßung von allen Knoten innerhalb eines Radius — auch von denen fremder Ringe. Letztere macht die Linie überschneidungsfrei.
3. Die Abstoßung braucht die Nachbarschaft, nicht alle Paare. Ein Gleichverteilungsgitter mit Zellweite gleich dem Abstoßungsradius wird pro Schritt per Counting Sort neu gefüllt; geprüft werden neun Zellen. Das macht aus O(n²) ein O(n) und ist der Grund, warum hier fünfzigtausend Knoten laufen statt fünfhundert.
4. Wachstum ist Einfügung. Pro Bild werden Kanten geteilt — die Anzahl folgt der logistischen Gleichung r·n·(1−n/K): langsam zu Beginn, am schnellsten zur Halbzeit, sanft auslaufend an der Kapazitätsgrenze. Dieselbe Kurve, mit der Verhulst 1838 Populationen beschrieb.
5. Differentiell heißt: nicht überall gleich. Ein langsam driftendes Rauschfeld gibt jedem Knoten eine Wachstumsrate. Welche Kante geteilt wird, wird per Verwerfungsstichprobe daraus gezogen. Die aktiven Zonen tragen im Bild die zweite Farbe.
6. Der Zeichnung liegt ein zweites, bleibendes Blatt unter. Alle paar Schritte wird die momentane Linie mit sehr geringer Deckung hineingestempelt, dazu ihre Fläche noch schwächer. Was man am Ende sieht, ist keine Momentaufnahme, sondern ein Protokoll — Höhenlinien der eigenen Vergangenheit, dichter dort, wo die Form lange verweilt hat.

Warum keine Simulation leuchtet

Die drei vorangegangenen Arbeiten der Reihe rechnen Physik und zeigen Licht: Reaktions-Diffusion in einer Strömung, spektrale Brechung in einem Glaskörper, Sand auf einer schwingenden Platte. Diese hier rechnet gar keine Physik. Sie ist Tinte, Papier und eine Regel. Der Kontrapunkt ist beabsichtigt.

Bedienung

Ein Klick ins Bild sät einen weiteren Keim; er wächst gegen die bestehende Form an, und dort, wo zwei Fronten sich treffen, bleibt eine Naht stehen. Leertaste beginnt von vorn, M wechselt die Aussaat-Figur, L das Licht, I schließt diesen Text. Über die Adresse: ?q=0..3 Auflösungsstufe, ?m=0..3 Aussaat, ?s=ZAHL Saatgut, ?t=light|dark Licht, ?warm=N N Schritte im Voraus.

Bezüge

D'Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form (1917) — Form als Ergebnis von Kräften, nicht von Absicht.
Pierre-François Verhulst, Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement (1838) — die logistische Kurve.
Ernst Haeckel, Kunstformen der Natur (1899–1904) — die Krausen und Säume, aus denen dieses Bild seine Disziplin bezieht.
Anders Hoff, inconvergent.net — die kanonische Formulierung des differentiellen Wachstums als Feder-plus-Abstoßung.
Jessica Rosenkrantz & Jesse Louis-Rosenberg (Nervous System), Floraform (2014) — dieselbe Regel, dreidimensional gedacht.
Tallinen, Chung, Biggins & Mahadevan, Gyrification from constrained cortical expansion, PNAS 111 (2014) — der Beweis am Gehirn.

Maierzone · Generative Reihe, vierte Arbeit · 2026