Stimmung · Kette der Quinten · 12 Schritte

Das KommaDer Fehler, den man nur verschieben kann

Zwölf reine Quinten sind nicht sieben Oktaven. Es fehlt nichts — es ist 23,46 Cent zu viel da.

Eine reine Quinte ist das Schwingungsverhältnis 3:2. Stapelt man zwölf davon, steht am Ende 312, also 531 441. Sieben Oktaven sind 219, also 524 288. Die beiden Zahlen sind einander nah und nicht gleich, und weil eine Potenz von 3 nie eine Potenz von 2 sein kann, werden sie es auch nie. Der Überschuss heißt pythagoreisches Komma und misst 23,46 Cent.

Jedes Tasteninstrument der letzten fünfhundert Jahre ist eine Entscheidung darüber, wohin damit.

Was folgt, ist die Kette selbst. Der Faden läuft von C nach C und kippt bei jeder Quinte um genau den Betrag zur Seite, um den diese Quinte von der gleichstufigen abweicht — nach rechts, wenn sie weiter ist, nach links, wenn sie enger ist. Maßstäblich, nicht überhöht. Unten muss er wieder auf der Mittellinie ankommen.

Die Kette · zwölf reine Quinten

  1. 01C → G 701,955
  2. 02G → D 701,955
  3. 03D → A 701,955
  4. 04A → E 701,955

  5. Ein Cent ist ein Zwölfhundertstel einer Oktave. Klein, aber nicht unhörbar: zwei Töne, die um 23,46 Cent auseinanderliegen, schweben am eingestrichenen c′ (261,63 Hz) etwa dreieinhalbmal pro Sekunde gegeneinander. Dafür braucht es kein geschultes Ohr.

  6. 05E → H 701,955
  7. 06H → Fis 701,955
  8. 07Fis → Cis 701,955
  9. 08Cis → Gis 701,955

  10. Irgendwo muss aus einem Ais ein B werden, sonst kommt die Kette nie zurück. Auf der Klaviatur gibt es für beide nur eine Taste. Hier liegt die Naht — und wer den ganzen Überschuss in diese eine Quinte schiebt, bekommt dort die Wolfsquinte: eine Quinte, die so falsch ist, dass sie heult.

  11. 09Gis → Dis 701,955
  12. 10Dis → B 701,955
  13. 11B → F 701,955
  14. 12F → C 701,955
23,46 ct offen Hier hättest du ankommen müssen.

Vier Antworten · und keine ohne Preis

  1. 01

    Pythagoreisch antik

    Elf reine Quinten, das ganze Komma in einer einzigen: 678,49 Cent. Elf Quinten ohne Fehler, eine unbrauchbare. Acht große Terzen sind 21,51 Cent zu weit; die vier, die über die Wolfsquinte laufen, liegen nur 1,95 Cent daneben — das Schisma. Fast rein, genau dort, wo niemand hingeht.

  2. 02

    Mitteltönig, ¼-Komma Pietro Aron, 1523

    Elf Quinten je um ein Viertel des syntonischen Kommas verkleinert, auf 696,58 Cent. Dafür acht vollkommen reine große Terzen. Bezahlt wird das mit vier Terzen, die 41 Cent zu weit sind, und einer Wolfsquinte von 737,64 Cent.

  3. 03

    Werckmeister III Andreas Werckmeister, 1691

    Vier Quinten um je ein Viertel des pythagoreischen Kommas verkleinert, acht rein. Keine Quinte wird unbrauchbar, keine Tonart unspielbar — und jede klingt anders. Eine der Stimmungen, die man wohltemperiert nennt.

  4. 04

    Gleichstufig Ende 16. Jh.

    Das Komma auf zwölf gleiche Teile: jede Quinte 1,955 Cent zu eng, exakt 700. Alle Tonarten gleichwertig, alle großen Terzen 13,69 Cent zu weit. Zhu Zaiyu in China und, unabhängig davon, Simon Stevin in den Niederlanden rechneten die zwölfte Wurzel aus 2 aus.

Diese Seite oben zeigt den Ausgangszustand: zwölf reine Quinten, die Kette offen. Mit aktiviertem JavaScript lassen sich die vier Antworten einsetzen und einzelne Quinten von Hand verstimmen; die Naht schließt sich genau dann, wenn die Summe aller Abweichungen 23,46 Cent beträgt.

Was du bezahlst · die zwölf großen Terzen

Eine reine große Terz ist 5:4, also 386,31 Cent. Jede Terz ist vier Quinten weit weg, ihre Abweichung also die Summe von vier Entscheidungen. Die Leiste zeigt, wie weit jede von der reinen entfernt ist — grün heißt rein.

CGDAEH FisCisGisDisBF

Alle zwölf Terzen 21,51 Cent zu weit — das ist der Preis von zwölf reinen Quinten.

Mit JavaScript spielt ein Antippen die jeweilige Terz und nennt ihre Schwebungen pro Sekunde.

Man kann den Fehler in eine einzige Quinte sperren, in die man dann nie geht. Man kann ihn in zwölf gleiche Scheiben schneiden, bis er überall gleich wenig weh tut und keine Tonart mehr eine eigene Farbe hat. Man kann ihn ungleich verteilen und die häufig gespielten Tonarten schonen.

Abschaffen kann man ihn nicht. Die Kette ist zwölf Schritte lang, das Komma ist 23,46 Cent groß, und die Summe aller Abweichungen von der reinen Quinte ist immer genau dieser Betrag — egal, wie sie verteilt sind.