Die erste Ziffer der Zweierpotenzen

1024. 65536. 4294967296. Wer mit Rechnern zu tun hat, kennt solche Zahlen auswendig, ohne je gezählt zu haben, womit sie anfangen. Zählt man es nach, zeigt sich ein Muster, das keiner der Zahlen einzeln anzusehen ist: Von den ersten zweihundert Zweierpotenzen beginnt fast jede dritte mit einer 1. Mit einer 9 beginnt nicht einmal jede zwanzigste.

Eine alte Beobachtung

Der Astronom Simon Newcomb bemerkte das 1881 auf einem ungewöhnlichen Weg: In den gedruckten Logarithmentafeln der Bibliothek waren die vorderen Seiten deutlich stärker abgegriffen als die hinteren – ein Hinweis darauf, dass Zahlen, die mit einer kleinen Ziffer beginnen, häufiger nachgeschlagen wurden. Er veröffentlichte dazu eine zweiseitige Notiz im American Journal of Mathematics. Sie geriet weitgehend in Vergessenheit. 1938 fand der Physiker Frank Benford dasselbe Muster unabhängig wieder, prüfte es an weit mehr Datensätzen – Flussflächen, Einwohnerzahlen, physikalische Konstanten – und veröffentlichte es unter dem Titel „The Law of Anomalous Numbers“. Sein Name blieb daran hängen, nicht Newcombs.

Wo die Ziffer herkommt

Zweierpotenzen wachsen multiplikativ: Jede ist doppelt so groß wie die vorige. Ihre Stellenzahl dagegen wächst nur gelegentlich, im Schnitt alle 1/log₁₀(2) ≈ 3,32 Schritte um eine Stelle. Genauer: Die erste Ziffer von 2ⁿ steht fest, sobald man den Nachkommaanteil von n · log₁₀(2) kennt – man rundet 10 hoch diesen Anteil ab. Und weil log₁₀(2) = 0,30102999566398119521… irrational ist, wiederholt sich dieser Nachkommaanteil nie exakt. Nach einem Satz von Hermann Weyl aus dem Jahr 1916 verteilt er sich sogar gleichmäßig über die Strecke von 0 bis 1.

Gleichmäßig verteilt heißt: Pro Grad auf einem Kreis landet im Schnitt gleich oft ein Punkt, unabhängig vom Grad. Die neun Ziffern bekommen davon aber ungleich große Anteile, weil sie ungleich breite Abschnitte dieses Kreises beanspruchen. Die Ziffer 1 deckt den Bereich von log₁₀(1) bis log₁₀(2) ab, knapp ein Drittel des Kreises. Die Ziffer 9 bekommt nur den schmalen Rest von log₁₀(9) bis log₁₀(10) – gut 16 von 360 Grad.

Der Kreis, der es zeigt

Die neun Bogenfelder unten sind genau diese Anteile – Feld 1 ist 108,4° breit, Feld 9 nur 16,5°. Für jede Zweierpotenz liegt ein Punkt bei dem Winkel, der ihrem Nachkommaanteil entspricht, mit wachsendem Radius nach außen gesetzt, damit sich die Reihenfolge ablesen lässt. Kein Punkt wird einsortiert – er landet einfach dort, wo n · log₁₀(2) mod 1 ihn hinschickt. Dass die Felder trotzdem so ungleich gefüllt wirken, ist keine Anordnung, sondern die Anteile selbst.

Was daraus folgt

Das Muster ist nicht auf Zweierpotenzen beschränkt. Es taucht in fast jeder Zahlenmenge auf, die über mehrere Größenordnungen reicht, ohne künstlich auf eine Spanne begrenzt zu sein: Einwohnerzahlen, Flussflächen, Bilanzsummen, Rechnungsbeträge. Genau deshalb wird Benfords Gesetz seit den 1990er-Jahren in der Wirtschaftsprüfung eingesetzt – frei erfundene oder grob geglättete Zahlenreihen folgen der Verteilung meist nicht, gewachsene fast immer. Die Zweierpotenzen sind dafür kein Anwendungsfall, sondern der eine Fall, an dem sich der Grund zeigen lässt, ohne einen einzigen Datensatz nachschlagen zu müssen: Hier folgt das Muster nicht aus der Beschaffenheit der Welt, sondern allein aus der Irrationalität einer einzigen Zahl.

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