Die Auflösung: Subtraktion ist vorzeichenbehaftetes Pascal
C(n,k) = (L − R) mod m · apex = [1] · m ∈ {4, 6}
Pascal-Modifikations-Experiment · Algos algo-0018 (mod 4), algo-0019 (mod 6) · Familie v1
Warum brechen die Gesetze bei zusammengesetzten Moduli?
Das Subtraktions-Gesetz galt für Primzahlen. Bei mod 4 und mod 6 verschwinden Kollaps-Zeilen und Selbsteinbettung — und genau dieser Bruch legt die wahre Identität der Rekurrenz frei. Rechnet man die Differenz-Rekurrenz ohne Modul, erscheint:
Das Subtraktions-Dreieck ist modulo beliebigem m nichts anderes als das vorzeichenbehaftete Pascal-Dreieck: Betrag = Binomialkoeffizient, Vorzeichen = Schachbrett. Alles Bisherige folgt daraus:
- Chiralität (G2) gilt für jedes m — Spiegelung kehrt nur das Schachbrett-Vorzeichen um. ✓ auch mod 4 und mod 6 bestätigt.
- Kollaps und Einbettung (G1/G4) gelten nur für Primzahlen — sie sind Aussagen über
binom(n,k) mod p, also genau das Lucas-Theorem. Bei zusammengesetztem m versagt Lucas, und mit ihm das Gesetz. - mod 4 = Sierpinski + Übertragsfraktal. Das Paritätsbit ist exakt das Pascal-Sierpinski-Dreieck; das 2er-Bit ist die zweite Binärziffer der Binomialkoeffizienten — das Übertragsmuster aus dem Satz von Kummer.
- mod 6 zerfällt per CRT in das Produkt der beiden früheren Entdeckungen:
Wert mod 2 = Pascal-Sierpinski, Wert mod 3 = Subtraktions-Dreieck (
algo-0009).
Alle Aussagen werden unten live im Browser nachgerechnet (96 Zeilen).
Modul wählen
Schichten-Zerlegung von mod 4
Links das volle Dreieck mod 4 — Mitte nur das Paritätsbit (v mod 2):
exakt das Sierpinski-Dreieck — rechts nur das 2er-Bit (⌊v/2⌋): das Kummer-Übertragsfraktal,
die zweite Binärziffer von binom(n,k).
mod 4 (voll)
Paritätsbit = Sierpinski
2er-Bit = Übertragsfraktal
Live-Nachweise
Erzeugt mit dem Harness pascal-modifikations-experiment (Seeds 41/42).
Rekurrenz-Familie v1: C(n,k) = (a·L + b·R + c) mod m mit a=1, b=m−1, c=0, apex=[1].
Binomialkoeffizienten im Browser via BigInt.