Pell-Pisano — das Delannoy-Dreieck modulo 3, 5 und 7
C(n,k) = L + R + G (mod m) · G = C(n−2,k−1) · Apex [1] · Familie v2
Ohne mod erzeugt die Großeltern-Rekurrenz das Delannoy-Dreieck mit Pell-Zeilensummen (siehe Das Pell-Dreieck). Hier dieselbe Rekurrenz modulo 3, 5 und 7. Die Zeilensummen werden zu den Pell-Zahlen mod m — und die sind periodisch: die Pell-Pisano-Perioden π(3) = 8, π(5) = 12, π(7) = 6, direkt am Dreieck ablesbar (grüne Streifen unter jedem Dreieck, erste zwei Perioden). Nullen sind lila markiert.
Beobachtung 1 — Zeilensummen: Pell-Pisano-Perioden
mod 3: 1 2 2 0 2 1 1 0 (Periode 8) ·
mod 5: 1 2 0 2 4 0 4 3 0 3 1 0 (Periode 12) ·
mod 7: 1 2 5 5 1 0 (Periode 6)
Die Dreiecksstruktur erbt die Periodizität der zugrunde liegenden Zeitschritt-2-Rekurrenz — das v1-Pascal (Zeitschritt 1) kann das nicht: seine Zeilensummen mod m sind 2ⁿ mod m, reine Exponentialfolge.
Die Dreiecksstruktur erbt die Periodizität der zugrunde liegenden Zeitschritt-2-Rekurrenz — das v1-Pascal (Zeitschritt 1) kann das nicht: seine Zeilensummen mod m sind 2ⁿ mod m, reine Exponentialfolge.
Beobachtung 2 — Auslöschzeilen und Null-Struktur
Bei mod 5 ist Zeile 3 im Inneren komplett null (1,0,0,1); bei mod 7 Zeile 4
teilweise (1,0,6,0,1). Die Nullen clustern nicht zufällig, sondern in
horizontalen Bändern und fraktalen Wiederholungen — anders als beim
Sierpinski-Gasket des klassischen Pascal mod p, wo die Nullen strikt
dreiecksfraktal nach Lucas sitzen. Die Großeltern-Rückkopplung bricht das
Lucas-Muster auf.
Beobachtung 3 — Spaltenperioden = p
Die inneren Spalten (k ≥ 1) sind bei allen drei Mods periodisch mit Periode
genau p (k=1 ist einfach 2n+1 mod p). Die Randspalte bleibt konstant 1.
Kontext
algo-0048 (mod 3, seed 26072303), algo-0051 (mod 5, seed 26072306),
algo-0052 (mod 7, seed 26072307); je 20 Zeilen. Signaturen
sig-b4486a9f8fcf, sig-89cfe549fbd2, sig-cd0b0f7a2832.
Vergleichsseite zu einer Publikation — alle drei Algos werden mit diesem
Slug markiert.