Das Sättigungs-Dreieck: Plateaus auf dem Fixpunkt

C(n,k) = (L + R + c) mod p · apex = [c]

Pascal-Modifikations-Experiment · Algos algo-0020 (p=7, c=1), algo-0023 (p=7, c=2) · Familie v1

Die Entdeckung

Gibt man der Pascal-Rekurrenz eine additive Konstante c mit, entsteht ein affines Dreieck ohne geschlossene Form. Die Rekurrenz besitzt einen konstanten Fixpunkt: x = 2x + c ⟹ x ≡ −c (mod p). Und genau auf diesem Fixpunkt geschieht etwas Bemerkenswertes — sofern der Apex der Konstanten gleicht (apex = [c]):

Zeile n = p^k − 2 ist konstant gleich −c (dem Fixpunkt)

S1 · Sättigungs-Zeilen. Für p = 7: Zeilen 5 und 47 (= 7−2 und 49−2) sind vollständig 6 (bei c=1) bzw. 5 (bei c=2). Verifiziert für p ∈ {2,3,5,7}, alle c, k ∈ {1,2}.

S2 · Binäre Nachbarzeilen. Die Zeilen um das Plateau enthalten nur je zwei Werte: Zeile p^k − 3 ⊆ {0, −2c}, Zeile p^k − 1 ⊆ {0, −c}.

S3 · Skalierungs-Lemma. Das Dreieck zu (c, apex=[c]) ist das c-fache des kanonischen Dreiecks (c=1, apex=[1]): C_c(n,k) ≡ c · C_1(n,k). Es gibt also pro Primzahl genau ein universelles affines Dreieck.

S4 · Bedingung apex = c ist scharf. Bei apex ≠ c bricht S1 sofort zusammen (gegengeprüft für alle c < p).

Der publizierte Fall algo-0006 ist der Spezialfall p = 2: dort ist −1 ≡ 1, die Sättigungs-Plateaus sind die Einszeilen bei 2^k − 2, und die binären Vorzeilen kollabieren zu den Nullzeilen bei 2^k − 3.

Interaktiv: Primzahl und Konstante

Live-Nachweise

Erzeugt mit dem Harness pascal-modifikations-experiment (Seeds 51/54). Rekurrenz-Familie v1: C(n,k) = (a·L + b·R + c) mod m. Apex wird immer als [c] gesetzt (S4).