Der Lift-Satz: Sättigung überlebt mod p²
C(n,k) = (L + R + 1) mod p² · apex = [1]
Pascal-Modifikations-Experiment · Algos algo-0024 (mod 4), algo-0025 (mod 9) · Familie v1
Das Plateau bricht nicht — es spaltet sich
Das Sättigungs-Gesetz
besagt: mod p ist Zeile n = p^k − 2 konstant auf dem Fixpunkt −1.
Was passiert beim Lift in den größeren Ring Z/p²? Die naive Erwartung —
das Plateau zerfällt in Chaos — trifft nicht zu:
mod p² gilt: Zeile pk − 2 ≡ −1 (mod p) · jeder Eintrag ist ein Lift des Fixpunkts
L1 · Lift-Satz. Verifiziert für p ∈ {2,3,5,7} (also mod 4, 9, 25, 49)
und alle p^k − 2 < 100: Jeder Eintrag der Plateauzeilen erfüllt
v ≡ −1 (mod p).
Reduziert man das p²-Dreieck mod p, erscheint exakt das bekannte konstante Plateau.L2 · Wenige Lifts. Von den p möglichen Lifts {−1, −1+p, −1+2p, …}
erscheinen nur wenige: mod 4 → {1,3}, mod 9 → {2,8}, mod 25 → {4,9,24}, mod 49 → {6,20,34,48}.
Die Lift-Auswahl trägt eigene Struktur (mod 49: nur gerade Vielfache von p).
L3 · Schärfe der Grenze. Der Satz endet bei p²: mod 8 (p³) enthält
Zeile 2 bereits {3,5} — nicht mehr konstant mod 4. Der Lift zerbricht erst in der
zweiten Potenz-Stufe.
Kontrast: Bei der Subtraktion brach das Gesetz bei zusammengesetzten Moduli sofort (kein Lucas-Theorem). Die affine Sättigung dagegen ist robuster — sie überlebt genau eine Potenz-Stufe.
Interaktiv: Ring wählen
Plateau-Zeilen im Detail
| Zeile n = p^k − 2 | auftretende Werte | alle ≡ −1 (mod p)? |
|---|
Live-Nachweis
Erzeugt mit dem Harness pascal-modifikations-experiment (Seeds 61/62).
Rekurrenz-Familie v1: C(n,k) = (a·L + b·R + c) mod m mit a=1, b=1, c=1, apex=[1].